## 問題の回答

## 問題の回答

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1. 問題の内容

5つの小問からなる問題です。

(1) 2点間の距離を求める問題が2つあります。

(2) 2点A, Bを結ぶ線分ABを内分する点と中点の座標を求める問題です。

(3) 2点A, Bを結ぶ線分ABを外分する点の座標を求める問題です。

(4) 2点間の距離を求める問題が2つあります。

(5) 直線の傾きと切片を求める問題が2つあります。

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2. 解き方の手順

(1) 2点間の距離は、座標の差の絶対値で求められます。

* A(2), B(5)の距離: $|5 - 2| = 3$

* C(3), D(-2)の距離: $|-2 - 3| = |-5| = 5$

(2) 線分ABをm:nに内分する点の座標は、以下の式で求められます。

$P = \frac{n\cdot A + m\cdot B}{m+n}$

線分ABの中点は、AとBの座標の平均で求められます。

* A(-1), B(5) を 2:1 に内分する点P: $P = \frac{1\cdot(-1) + 2\cdot 5}{2+1} = \frac{-1 + 10}{3} = \frac{9}{3} = 3$

* 線分ABの中点M: $M = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

(3) 線分ABをm:nに外分する点の座標は、以下の式で求められます。

$Q = \frac{-n\cdot A + m\cdot B}{m-n}$

* A(1), B(5) を 2:1 に外分する点P: $P = \frac{-1\cdot 1 + 2\cdot 5}{2-1} = \frac{-1 + 10}{1} = 9$

* 線分ABを1:2 に外分する点Q: $Q = \frac{-2\cdot 1 + 1\cdot 5}{1-2} = \frac{-2 + 5}{-1} = \frac{3}{-1} = -3$

(4) 2点間の距離は、以下の式で求められます。

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

* A(2, 3), B(5, -1) の距離: $d = \sqrt{(5 - 2)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

* O(0, 0), C(1, -4) の距離: $d = \sqrt{(1 - 0)^2 + (-4 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$

(5) 直線の式を $y = mx + c$ の形に変形します。このとき、$m$ が傾き、$c$ が切片です。

* $3x - 2y + 4 = 0$ -> $2y = 3x + 4$ -> $y = \frac{3}{2}x + 2$ したがって、傾きは $\frac{3}{2}$、切片は 2 です。

* $2x + 3y - 9 = 0$ -> $3y = -2x + 9$ -> $y = -\frac{2}{3}x + 3$ したがって、傾きは $-\frac{2}{3}$、切片は 3 です。

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3. 最終的な答え

(1) ① 3 ② 5

(2) ① 3 ② 2

(3) ① 9 ② -3

(4) ① 5 ② $\sqrt{17}$

(5) ① 傾き: $\frac{3}{2}$, 切片: 2 ② 傾き: $-\frac{2}{3}$, 切片: 3