関数 $y = -x^2 + 2x + c$ (定義域 $0 \le x \le 3$) の最小値が $-5$ であるとき、$c$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + 2x + c$ (定義域 $0 \le x \le 3$) の最小値が $-5$ であるとき、$c$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -(x^2 - 2x) + c$

$y = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + c$

$y = -(x - 1)^2 + 1 + c$

この2次関数のグラフは、上に凸な放物線であり、頂点の座標は $(1, 1+c)$ です。

定義域 $0 \le x \le 3$ における関数の最小値を考えます。

軸 $x=1$ は定義域に含まれます。

頂点の$x$座標は$x=1$であり、これは定義域の中央に位置します。$x=0$での値と$x=3$での値を比較検討します。

$x=0$のとき、$y = -0^2 + 2(0) + c = c$

$x=3$のとき、$y = -3^2 + 2(3) + c = -9 + 6 + c = -3 + c$

$x=3$のときの方が、$x=0$のときよりも小さい値を取ります。したがって、$x=3$のときに最小値をとります。

$x=3$のときの値が$-5$であるから、

$-3 + c = -5$

$c = -5 + 3$

$c = -2$

3. 最終的な答え

$c = -2$