2次関数 $y=x^2-2mx+3m$ の最小値を $l$ とする。 (1) $l$ を $m$ の式で表す。 (2) $l$ が最も大きくなるときの $m$ の値と、そのときの $l$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y=x^2-2mx+3m$ の最小値を $l$ とする。

(1) $l$ を $m$ の式で表す。

(2) $l$ が最も大きくなるときの $m$ の値と、そのときの $l$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた2次関数を平方完成して、最小値を $m$ の式で表す。

$y = x^2 - 2mx + 3m$

$y = (x - m)^2 - m^2 + 3m$

よって、最小値 $l$ は

$l = -m^2 + 3m$

(2) $l = -m^2 + 3m$ を最大にする $m$ の値を求める。$l$ を $m$ について平方完成する。

$l = -(m^2 - 3m)$

$l = -\left( m - \frac{3}{2} \right)^2 + \frac{9}{4}$

$l$ は $m = \frac{3}{2}$ のとき最大値 $\frac{9}{4}$ をとる。

3. 最終的な答え

(1) $l = -m^2 + 3m$

(2) $m = \frac{3}{2}$ のとき $l = \frac{9}{4}$