5つの数字 $0, 1, 2, 3, 4$ を使って、以下の条件を満たす自然数の個数を求める問題です。ただし、同じ数字を重複して使用しても良いとします。 (1) 3桁の自然数の個数 (2) 3桁以下の自然数の個数 (3) 123より小さい自然数の個数

1. 問題の内容

5つの数字 $0, 1, 2, 3, 4$ を使って、以下の条件を満たす自然数の個数を求める問題です。ただし、同じ数字を重複して使用しても良いとします。

(1) 3桁の自然数の個数

(2) 3桁以下の自然数の個数

(3) 123より小さい自然数の個数

2. 解き方の手順

(1) 3桁の自然数の個数

* 百の位には0以外の数字が入るので、選び方は4通り。

* 十の位、一の位には0から4までのどの数字が入っても良いので、それぞれ5通り。

* したがって、3桁の自然数の個数は $4 \times 5 \times 5 = 100$ 個。

(2) 3桁以下の自然数の個数

* 1桁の自然数は0以外の4個 (1, 2, 3, 4)。

* 2桁の自然数は、十の位が0以外なので4通り、一の位は5通りなので $4 \times 5 = 20$ 個。

* 3桁の自然数は(1)で求めたように100個。

* したがって、3桁以下の自然数の個数は $4 + 20 + 100 = 124$ 個。

(3) 123より小さい自然数の個数

* 1桁の自然数は4個 (1, 2, 3, 4)。

* 2桁の自然数は、10から14, 20から24, 30から34, 40から44 の20個。

* 3桁の自然数で123より小さいものを考える。

* 百の位が1の場合：

* 十の位が0の場合：一の位は0から4なので5個。

* 十の位が1の場合：一の位は0から4なので5個。

* 十の位が2の場合：一の位は0から2なので3個。

* 合わせて $5 + 5 + 3 = 13$ 個。

* したがって、123より小さい自然数の個数は $4 + 20 + 13 = 37$ 個。

3. 最終的な答え

(1) 3桁の自然数の個数：100個

(2) 3桁以下の自然数の個数：124個

(3) 123より小さい自然数の個数：37個