6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5の中から異なる5個を選んで並べ、5桁の整数を作る。以下の問いに答えよ。 (1) 5桁の整数は何個作れるか。 (2) 5桁の奇数は何個作れるか。 (3) 5桁の偶数は何個作れるか。

1. 問題の内容

6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5の中から異なる5個を選んで並べ、5桁の整数を作る。以下の問いに答えよ。

(1) 5桁の整数は何個作れるか。

(2) 5桁の奇数は何個作れるか。

(3) 5桁の偶数は何個作れるか。

2. 解き方の手順

(1) 5桁の整数

5桁の整数を作るには、まず、一番左の桁（万の位）に0以外の数字を選ぶ必要があります。

- 万の位：0以外の5つの数字から1つ選ぶ ($5$通り)

- 千の位：残りの5つの数字から1つ選ぶ ($5$通り)

- 百の位：残りの4つの数字から1つ選ぶ ($4$通り)

- 十の位：残りの3つの数字から1つ選ぶ ($3$通り)

- 一の位：残りの2つの数字から1つ選ぶ ($2$通り)

したがって、5桁の整数の総数は、

$5 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 600$ 個

(2) 5桁の奇数

5桁の奇数を作るには、一の位が奇数である必要があります。奇数は1, 3, 5の3つです。

- 一の位：奇数3つのうちから1つ選ぶ ($3$通り)

- 万の位：0を含めて考えないといけないので、場合分けをします。

- 一の位が奇数で、万の位が0でない場合：

万の位は0と一の位で選んだ奇数以外の4つから1つ選ぶ ($4$通り)

千の位は残りの4つから1つ選ぶ ($4$通り)

百の位は残りの3つから1つ選ぶ ($3$通り)

十の位は残りの2つから1つ選ぶ ($2$通り)

この場合の数は、 $3 \times 4 \times 4 \times 3 \times 2 = 288$ 個

- 一の位が奇数で、万の位が0の場合を引く代わりに、先に万の位が0でない場合を考える

-一の位が1,3,5のいずれか($3$通り)

-万の位が0でなければ、残り4個の数字(0を除く)から選ぶ($4$通り)

-千の位は残り4個の数字から選ぶ($4$通り)

-百の位は残り3個の数字から選ぶ($3$通り)

-十の位は残り2個の数字から選ぶ($2$通り)

$3 \times 4 \times 4 \times 3 \times 2 = 288$

よって、5桁の奇数は288個作れる。

(3) 5桁の偶数

5桁の整数は600個。5桁の奇数は288個。

したがって、5桁の偶数は $600 - 288 = 312$ 個。

3. 最終的な答え

(1) 600個

(2) 288個

(3) 312個