$m$を定数とする2次方程式 $x^2 + 2(m+2)x + 2m + 12 = 0$ (以下、方程式①と呼ぶ) について、以下の3つの場合に$m$の範囲を求める。 (1) 方程式①が異なる2つの正の解を持つとき (2) 方程式①が2より大きい解と2より小さい解を1つずつ持つとき (3) 方程式①が1と2の間、2と3の間にそれぞれ解を1つずつ持つとき

1. 問題の内容

$m$を定数とする2次方程式 $x^2 + 2(m+2)x + 2m + 12 = 0$ (以下、方程式①と呼ぶ) について、以下の3つの場合に$m$の範囲を求める。

(1) 方程式①が異なる2つの正の解を持つとき

(2) 方程式①が2より大きい解と2より小さい解を1つずつ持つとき

(3) 方程式①が1と2の間、2と3の間にそれぞれ解を1つずつ持つとき

2. 解き方の手順

(1) 方程式①が異なる2つの正の解を持つための条件は、判別式$D > 0$, (軸) $> 0$, $f(0) > 0$である。

まず、判別式$D$について計算する。

$D/4 = (m+2)^2 - (2m+12) = m^2 + 4m + 4 - 2m - 12 = m^2 + 2m - 8 = (m+4)(m-2) > 0$

よって、$m < -4$または$m > 2$ ... (a)

次に、軸について計算する。

軸は$x = -(m+2) > 0$より、$m < -2$ ... (b)

最後に、$f(0) = 2m + 12 > 0$より、$m > -6$ ... (c)

(a), (b), (c)より、$-6 < m < -4$

(2) 方程式①が2より大きい解と2より小さい解を持つための条件は、$f(2) < 0$である。

$f(2) = 2^2 + 2(m+2)*2 + 2m + 12 = 4 + 4m + 8 + 2m + 12 = 6m + 24 < 0$

よって、$m < -4$

(3) 方程式①が1と2の間、2と3の間にそれぞれ解を1つずつ持つための条件は、$f(1) > 0$かつ$f(2) < 0$かつ$f(3) > 0$である。

$f(1) = 1^2 + 2(m+2)*1 + 2m + 12 = 1 + 2m + 4 + 2m + 12 = 4m + 17 > 0$より、$m > -17/4 = -4.25$

$f(2)$は(2)で計算済みで、$m < -4$

$f(3) = 3^2 + 2(m+2)*3 + 2m + 12 = 9 + 6m + 12 + 2m + 12 = 8m + 33 > 0$より、$m > -33/8 = -4.125$

$-4.25 < m < -4$かつ$m > -4.125$より、$-33/8 < m < -4$

3. 最終的な答え

(1) アイ: -6, ウエ: -4

(2) オカ: -4

(3) キクケ: -33/8, サシ: -4

コ：空白