不等式 $5p^2 - 2kp + 5 < 0$ を満たす整数 $p$ がただ1つとなるような自然数 $k$ をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $5p^2 - 2kp + 5 < 0$ を満たす整数 $p$ がただ1つとなるような自然数 $k$ をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を解きます。

$5p^2 - 2kp + 5 < 0$

これは $p$ に関する二次不等式なので、解の公式を用いて $p$ の範囲を求めます。

$5p^2 - 2kp + 5 = 0$ となる $p$ の値は、

$p = \frac{2k \pm \sqrt{(2k)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5}}{2 \cdot 5} = \frac{2k \pm \sqrt{4k^2 - 100}}{10} = \frac{k \pm \sqrt{k^2 - 25}}{5}$

したがって、不等式 $5p^2 - 2kp + 5 < 0$ の解は、

$\frac{k - \sqrt{k^2 - 25}}{5} < p < \frac{k + \sqrt{k^2 - 25}}{5}$

この範囲に含まれる整数 $p$ がただ一つであるためには、$k^2 - 25 \ge 0$ である必要があります。これは $k \ge 5$ を意味します ($k$ は自然数なので)。

$p$ がただ一つであるためには、

$\frac{k + \sqrt{k^2 - 25}}{5} - \frac{k - \sqrt{k^2 - 25}}{5} \le 2$

$2 \frac{\sqrt{k^2 - 25}}{5} \le 2$

$\sqrt{k^2 - 25} \le 5$

$k^2 - 25 \le 25$

$k^2 \le 50$

$k \le \sqrt{50} \approx 7.07$

$k \ge 5$ であり、$k$ が自然数であるので、$k=5, 6, 7$ の場合を考えます。

* $k = 5$ のとき:

$p = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 25}}{5} = 1$

$0 < p < 2$ となり、$p = 1$ のみ。よって条件を満たす。

* $k = 6$ のとき:

$p = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 25}}{5} = \frac{6 \pm \sqrt{11}}{5}$

$\frac{6 - \sqrt{11}}{5} \approx \frac{6 - 3.32}{5} \approx 0.54$

$\frac{6 + \sqrt{11}}{5} \approx \frac{6 + 3.32}{5} \approx 1.86$

$0.54 < p < 1.86$ を満たす整数は $p = 1$ のみ。よって条件を満たす。

* $k = 7$ のとき:

$p = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 25}}{5} = \frac{7 \pm \sqrt{24}}{5}$

$\frac{7 - \sqrt{24}}{5} \approx \frac{7 - 4.9}{5} \approx 0.42$

$\frac{7 + \sqrt{24}}{5} \approx \frac{7 + 4.9}{5} \approx 2.38$

$0.42 < p < 2.38$ を満たす整数は $p = 1, 2$ の2つ。よって条件を満たさない。

したがって、$k = 5, 6$ が求める自然数です。

3. 最終的な答え

$k = 5, 6$