$x$ を実数として、命題P「$x \neq 1$ ならば、$x^2 \neq x$ である」について、命題Pの逆・裏・対偶を求め、それぞれの真偽を判定する問題です。

1. 問題の内容

$x$ を実数として、命題P「$x \neq 1$ ならば、$x^2 \neq x$ である」について、命題Pの逆・裏・対偶を求め、それぞれの真偽を判定する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 命題Pの真偽

命題P「$x \neq 1$ ならば、$x^2 \neq x$ である」を考える。

$x^2 = x$ となるのは、$x^2 - x = 0$ より、$x(x-1) = 0$ なので、$x=0$ または $x=1$ のときである。

したがって、$x \neq 1$ ならば、$x^2 \neq x$ であるは正しい。

よって、命題Pは真である。

(2) 命題Pの逆

命題Pの逆は、「$x^2 \neq x$ ならば、$x \neq 1$ である」である。

選択肢から、$x^2 \neq x$ ならば、$x \neq 1$ であるに該当するものは④である。

$x=0$ のとき、$x^2=0$ であり、$x^2=x$ となるので、逆は偽である。

(3) 命題Pの裏

命題Pの裏は、「$x = 1$ ならば、$x^2 = x$ である」である。

選択肢から、$x = 1$ ならば、$x^2 = x$ であるに該当するものは②である。

$x=1$ のとき、$x^2=1$ であり、$x^2=x$ であるので、裏は真である。

(4) 命題Pの対偶

命題Pの対偶は、「$x^2 = x$ ならば、$x = 1$ である」である。

選択肢から、$x^2 = x$ ならば、$x = 1$ であるに該当するものは③である。

$x^2=x$ より $x(x-1)=0$ なので、$x=0$ または $x=1$ 。よって、対偶は偽である。

3. 最終的な答え

* サ：①

* ク：④

* シ：②

* ケ：②

* ス：①

* コ：③

* セ：②