$a, b$ は有理数であるとする。$\sqrt{6}$ が無理数であることを用いて、命題 $\sqrt{2}a + \sqrt{3}b = 0 \implies a = b = 0$ を証明せよ。

1. 問題の内容

$a, b$ は有理数であるとする。$\sqrt{6}$ が無理数であることを用いて、命題 $\sqrt{2}a + \sqrt{3}b = 0 \implies a = b = 0$ を証明せよ。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明します。

$\sqrt{2}a + \sqrt{3}b = 0$ かつ $a \neq 0$ または $b \neq 0$ であると仮定します。

$\sqrt{2}a = -\sqrt{3}b$ と変形できます。

両辺を2乗すると、

$2a^2 = 3b^2$

ここで、$a \neq 0$ の場合、$a^2 \neq 0$ となります。したがって、$2a^2 \neq 0$ となります。

$3b^2 = 2a^2$より、$b \neq 0$となります。

$2a^2 = 3b^2$を書き換えると

$\frac{a^2}{b^2} = \frac{3}{2}$

$\left(\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{3}{2}$

$\frac{a}{b} = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$

$\frac{a}{b} = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

$a, b$ は有理数なので、$\frac{a}{b}$ も有理数となります。しかし、$\frac{\sqrt{6}}{2}$ は無理数なので、矛盾します。

したがって、$a = 0$ かつ $b = 0$ でなければなりません。

あるいは、$\sqrt{2}a + \sqrt{3}b = 0$ より、$\sqrt{2}a = -\sqrt{3}b$

両辺を2乗して $2a^2 = 3b^2$。

ここで、$a$ と $b$ がともに0でないと仮定する。

$a = 0$ のとき、$3b^2 = 0$ より $b = 0$ となり、$a = b = 0$ となるので矛盾する。

$b = 0$ のとき、$2a^2 = 0$ より $a = 0$ となり、$a = b = 0$ となるので矛盾する。

したがって、$a \neq 0$ かつ $b \neq 0$。

$2a^2 = 3b^2$ より $\frac{a^2}{b^2} = \frac{3}{2}$。

$\frac{a}{b} = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$。

$a, b$ は有理数なので、$\frac{a}{b}$ は有理数。一方、$\frac{\sqrt{6}}{2}$ は無理数。

これは矛盾。

したがって、$a = b = 0$。

3. 最終的な答え

$a = b = 0$