次の値を求める問題です。 $ \{(\frac{\sqrt{3}+i}{2})^8 + (\frac{\sqrt{3}-i}{2})^8\}^2 $

## 問題１

1. 問題の内容

次の値を求める問題です。

$\{(\frac{\sqrt{3}+i}{2})^8 + (\frac{\sqrt{3}-i}{2})^8\}^2$

2. 解き方の手順

まず、$z = \frac{\sqrt{3}+i}{2}$ とおきます。

この複素数を極形式で表すと、

$|z| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = 1$

$\arg z = \theta$ とすると、$\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin\theta = \frac{1}{2}$ より、$\theta = \frac{\pi}{6}$。

よって、$z = \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6} = e^{i\frac{\pi}{6}}$ となります。

同様に、$w = \frac{\sqrt{3}-i}{2}$ とおくと、$w = \cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}) = e^{-i\frac{\pi}{6}}$ となります。

したがって、

$z^8 = (e^{i\frac{\pi}{6}})^8 = e^{i\frac{4\pi}{3}} = \cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$w^8 = (e^{-i\frac{\pi}{6}})^8 = e^{-i\frac{4\pi}{3}} = \cos(-\frac{4\pi}{3}) + i\sin(-\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$z^8 + w^8 = (-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) + (-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -1$

したがって、与式は $(-1)^2 = 1$

3. 最終的な答え

$1$

## 問題２

1. 問題の内容

次の値を求める問題です。

$(1+i)^{10} - (1-i)^{10}$

2. 解き方の手順

まず、$1+i$を極形式で表します。

$|1+i| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$

$\arg(1+i) = \theta$ とすると、$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}, \sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ より、$\theta = \frac{\pi}{4}$。

よって、$1+i = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$。

同様に、$1-i = \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$。

したがって、

$(1+i)^{10} = (\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}})^{10} = (\sqrt{2})^{10} e^{i\frac{10\pi}{4}} = 2^5 e^{i\frac{5\pi}{2}} = 32 e^{i\frac{\pi}{2}} = 32(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}) = 32i$

$(1-i)^{10} = (\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}})^{10} = (\sqrt{2})^{10} e^{-i\frac{10\pi}{4}} = 2^5 e^{-i\frac{5\pi}{2}} = 32 e^{-i\frac{\pi}{2}} = 32(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2})) = -32i$

$(1+i)^{10} - (1-i)^{10} = 32i - (-32i) = 64i$

3. 最終的な答え

$64i$