式 $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x - y - 6$ を因数分解してください。

はい、承知いたしました。２つの問題がありますので、それぞれ解答します。

**問題8**

1. 問題の内容

式 $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x - y - 6$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$2x^2 + (5y + 4)x + (2y^2 - y - 6)$

次に、$2y^2 - y - 6$ を因数分解します。

$2y^2 - y - 6 = (2y + 3)(y - 2)$

よって、元の式は

$2x^2 + (5y + 4)x + (2y + 3)(y - 2)$

これを因数分解することを考えます。$(2x + a)(x + b)$ の形になると仮定すると、$ab = (2y + 3)(y - 2)$、 $2b + a = 5y + 4$ となる $a, b$ を見つければよいことになります。

$a = y - 2, b = 2y + 3$ とすると、$2(2y+3)+(y-2) = 4y+6+y-2 = 5y+4$となり条件を満たします。

したがって、

$2x^2 + (5y + 4)x + (2y + 3)(y - 2) = (2x + y - 2)(x + 2y + 3)$

3. 最終的な答え

$(2x + y - 2)(x + 2y + 3)$

**問題9**

1. 問題の内容

循環小数 $0.1\dot{2}\dot{4}$ を分数で表してください。

2. 解き方の手順

$x = 0.1\dot{2}\dot{4}$ とおきます。

循環する桁数が2なので、$100x$を計算します。

$100x = 12.4\dot{2}\dot{4}$

さらに10倍すると

$1000x = 124.\dot{2}\dot{4}$

$1000x - 10x = 124.242424... - 1.242424... = 123$

$990x = 123$

$x = \frac{123}{990}$

約分します。$123 = 3 \times 41$ であり、$990 = 3 \times 330$ なので、

$x = \frac{41}{330}$

3. 最終的な答え

$\frac{41}{330}$