複素数 $z$ について、方程式 $z^6 = -1$ を解く。

## (1) $z^6 = -1$ の解

1. 問題の内容

複素数 $z$ について、方程式 $z^6 = -1$ を解く。

2. 解き方の手順

$-1$ を複素数平面上で極形式で表すと、

$-1 = \cos(\pi + 2k\pi) + i\sin(\pi + 2k\pi)$ (ただし、$k$ は整数) となる。

ド・モアブルの定理より、$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ とおくと、

$z^6 = r^6 (\cos(6\theta) + i\sin(6\theta))$.

よって、

$r^6 (\cos(6\theta) + i\sin(6\theta)) = \cos(\pi + 2k\pi) + i\sin(\pi + 2k\pi)$

したがって、$r^6 = 1$ かつ $6\theta = \pi + 2k\pi$.

$r$ は実数なので、$r = 1$.

$\theta = \frac{\pi + 2k\pi}{6} = \frac{(2k+1)\pi}{6}$

$k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ に対して異なる解が得られるので、

$z = \cos(\frac{(2k+1)\pi}{6}) + i\sin(\frac{(2k+1)\pi}{6})$ ($k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$)

具体的な解は、

$k=0$ のとき、$z = \cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$

$k=1$ のとき、$z = \cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}) = i$

$k=2$ のとき、$z = \cos(\frac{5\pi}{6}) + i\sin(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$

$k=3$ のとき、$z = \cos(\frac{7\pi}{6}) + i\sin(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$

$k=4$ のとき、$z = \cos(\frac{3\pi}{2}) + i\sin(\frac{3\pi}{2}) = -i$

$k=5$ のとき、$z = \cos(\frac{11\pi}{6}) + i\sin(\frac{11\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$

3. 最終的な答え

$z = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i, i, -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i, -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i, -i, \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$

## (2) $z^4 = -8 - 8\sqrt{3}i$ の解

1. 問題の内容

複素数 $z$ について、方程式 $z^4 = -8 - 8\sqrt{3}i$ を解く。

2. 解き方の手順

$-8 - 8\sqrt{3}i$ を極形式で表す。

まず、絶対値を求める。 $|-8 - 8\sqrt{3}i| = \sqrt{(-8)^2 + (-8\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 + 192} = \sqrt{256} = 16$.

次に、偏角を求める。

$-8 - 8\sqrt{3}i = 16(\cos\theta + i\sin\theta)$ とおくと、

$\cos\theta = -\frac{8}{16} = -\frac{1}{2}$ かつ $\sin\theta = -\frac{8\sqrt{3}}{16} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

したがって、$\theta = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi$ (ただし、$k$ は整数).

$z = r(\cos\phi + i\sin\phi)$ とおくと、$z^4 = r^4(\cos(4\phi) + i\sin(4\phi))$.

よって、$r^4 = 16$ かつ $4\phi = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi$.

$r$ は実数なので、$r = 2$.

$\phi = \frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2}$

$k = 0, 1, 2, 3$ に対して異なる解が得られる。

$k=0$ のとき、$\phi = \frac{\pi}{3}$, $z = 2(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}) = 2(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 1 + \sqrt{3}i$.

$k=1$ のとき、$\phi = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{6}$, $z = 2(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}) = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i) = -\sqrt{3} + i$.

$k=2$ のとき、$\phi = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$, $z = 2(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}) = 2(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) = -1 - \sqrt{3}i$.

$k=3$ のとき、$\phi = \frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{2} = \frac{11\pi}{6}$, $z = 2(\cos\frac{11\pi}{6} + i\sin\frac{11\pi}{6}) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i) = \sqrt{3} - i$.

3. 最終的な答え

$z = 1 + \sqrt{3}i, -\sqrt{3} + i, -1 - \sqrt{3}i, \sqrt{3} - i$