次の2つの累乗根の式において、空欄に当てはまる数を求めよ。 (1) $\sqrt[3]{4} = 2$ (ア) (2) $\sqrt[4]{32} = 2$ (イ)

1. 問題の内容

次の2つの累乗根の式において、空欄に当てはまる数を求めよ。

(1) $\sqrt[3]{4} = 2$ (ア)

(2) $\sqrt[4]{32} = 2$ (イ)

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt[3]{4} = 2$ (ア) の場合

これは、$2$の何乗が$4$になるかを尋ねています。つまり、$2^x = 4$ を満たす $x$ を求めることになります。$4 = 2^2$ であるから、$x=2$です。したがって、空欄アには$2$が入ります。

この式は、正確には $\sqrt[a]{4} = 2$ という形で、$a$ を求める問題です。

$2^2 = 4$ より、$\sqrt[a]{4} = 2$ は、$4^{\frac{1}{a}} = 2$と書き換えられます。

両辺を$a$乗すると、$4 = 2^a$ となります。

$4 = 2^2$ なので、$2^2 = 2^a$。よって、$a = 2$。

つまり、$\sqrt[2]{4} = 2$。

(2) $\sqrt[4]{32} = 2$ (イ) の場合

これは、$2$を何乗すれば$32$になるかを尋ねています。つまり、$2^x = 32$ を満たす $x$ を求めることになります。$32 = 2^5$ であるから、$x=5$です。したがって、空欄イには$5$が入ります。

この式も同様に、$\sqrt[a]{32} = 2$ という形で、$a$を求める問題です。

$2^5 = 32$ より、$\sqrt[a]{32} = 2$ は、$32^{\frac{1}{a}} = 2$と書き換えられます。

両辺を$a$乗すると、$32 = 2^a$ となります。

$32 = 2^5$ なので、$2^5 = 2^a$。よって、$a = 5$。

つまり、$\sqrt[5]{32} = 2$。

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 5