与えられた式 $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$ を有理化する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$ を有理化する問題です。

2. 解き方の手順

まず、分母の有理化を行うために、分母の共役な複素数である $\sqrt{5} - \sqrt{2}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{1 \times (\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2}) \times (\sqrt{5}-\sqrt{2})}$

次に、分母を計算します。和と差の積の公式 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を利用します。

$(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$

したがって、

$\frac{1 \times (\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2}) \times (\sqrt{5}-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{5-2} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$