次の和を求めよ。 $1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + \dots + n(2n-1)$

1. 問題の内容

次の和を求めよ。

$1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + \dots + n(2n-1)$

2. 解き方の手順

与えられた数列の一般項は $k(2k-1)$ と表せる。よって、求める和は

$\sum_{k=1}^n k(2k-1)$

となる。これを計算する。

$\sum_{k=1}^n k(2k-1) = \sum_{k=1}^n (2k^2 - k) = 2 \sum_{k=1}^n k^2 - \sum_{k=1}^n k$

$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

よって、

$2 \sum_{k=1}^n k^2 - \sum_{k=1}^n k = 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} - \frac{n(n+1)}{2}$

$= \frac{2n(n+1)(2n+1) - 3n(n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2(2n+1) - 3)}{6} = \frac{n(n+1)(4n+2-3)}{6} = \frac{n(n+1)(4n-1)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(4n-1)}{6}$