多項式 $P(x)$ を $x^2 - 1$ で割った余りが $4x - 3$ であり、$x^2 - 4$ で割った余りが $3x + 5$ であるとき、$P(x)$ を $x^2 + 3x + 2$ で割った余りを求める。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $x^2 - 1$ で割った余りが $4x - 3$ であり、$x^2 - 4$ で割った余りが $3x + 5$ であるとき、$P(x)$ を $x^2 + 3x + 2$ で割った余りを求める。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $x^2 - 1$ で割ったときの商を $Q_1(x)$、余りを $4x - 3$ とすると、

$P(x) = (x^2 - 1)Q_1(x) + 4x - 3$

$P(x)$ を $x^2 - 4$ で割ったときの商を $Q_2(x)$、余りを $3x + 5$ とすると、

$P(x) = (x^2 - 4)Q_2(x) + 3x + 5$

$P(x)$ を $x^2 + 3x + 2$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $ax + b$ とすると、

$P(x) = (x^2 + 3x + 2)Q(x) + ax + b$

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$, $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$, $x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$ より、

$P(1) = 4(1) - 3 = 1$

$P(-1) = 4(-1) - 3 = -7$

$P(2) = 3(2) + 5 = 11$

$P(-2) = 3(-2) + 5 = -1$

また、$P(x) = (x + 1)(x + 2)Q(x) + ax + b$ より、

$P(-1) = -a + b = -7$

$P(-2) = -2a + b = -1$

これらの連立方程式を解く。

$-a + b = -7$

$-2a + b = -1$

2式を引き算すると、

$(-2a + b) - (-a + b) = -1 - (-7)$

$-a = 6$

$a = -6$

$-a + b = -7$ に $a = -6$ を代入すると、

$-(-6) + b = -7$

$6 + b = -7$

$b = -13$

したがって、求める余りは $-6x - 13$ となる。

3. 最終的な答え

$-6x - 13$