放物線 $y = 3x^2$ (これを①とする) について、以下の2つの問題に答えます。 (1) ①をx軸方向に2、y軸方向に3だけ平行移動した放物線の方程式を求めます。 (2) 次の放物線が、どのように平行移動すると①に重なるかを求めます。 (ア) $y = 3(x+1)^2 - 2$ (イ) $y = 3x^2 + x - 1$

1. 問題の内容

放物線 $y = 3x^2$ (これを①とする) について、以下の2つの問題に答えます。

(1) ①をx軸方向に2、y軸方向に3だけ平行移動した放物線の方程式を求めます。

(2) 次の放物線が、どのように平行移動すると①に重なるかを求めます。

(ア) $y = 3(x+1)^2 - 2$

(イ) $y = 3x^2 + x - 1$

2. 解き方の手順

(1) 平行移動の公式を使います。放物線 $y = f(x)$ をx軸方向に$p$、y軸方向に$q$だけ平行移動すると、$y - q = f(x - p)$となります。

今回は、$f(x) = 3x^2$、$p = 2$、$q = 3$なので、

$y - 3 = 3(x - 2)^2$

これを整理してyについて解きます。

$y = 3(x^2 - 4x + 4) + 3$

$y = 3x^2 - 12x + 12 + 3$

$y = 3x^2 - 12x + 15$

(2) (ア) $y = 3(x+1)^2 - 2$ について、これを $y = 3x^2$ の形に変形してみます。

$y = 3(x^2 + 2x + 1) - 2 = 3x^2 + 6x + 3 - 2 = 3x^2 + 6x + 1$

$y = 3x^2$に重ねるには、平方完成を行います。

$y = 3(x^2 + 2x) + 1 = 3(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1 = 3(x+1)^2 - 3 + 1 = 3(x+1)^2 - 2$

これは、$y = 3x^2$ を $x$ 軸方向に $-1$ 、$y$ 軸方向に $-2$ 平行移動したものです。

なので、 $y = 3(x+1)^2 - 2$を $x$ 軸方向に $1$ 、$y$ 軸方向に $2$ 平行移動すると、$y = 3x^2$ に重なります。

(2) (イ) $y = 3x^2 + x - 1$ について、これを $y = 3x^2$ の形に変形してみます。

$y = 3x^2 + x - 1 = 3(x^2 + \frac{1}{3}x) - 1 = 3(x^2 + \frac{1}{3}x + (\frac{1}{6})^2 - (\frac{1}{6})^2) - 1$

$= 3(x + \frac{1}{6})^2 - 3(\frac{1}{36}) - 1 = 3(x + \frac{1}{6})^2 - \frac{1}{12} - 1 = 3(x + \frac{1}{6})^2 - \frac{13}{12}$

これは、$y = 3x^2$ を $x$ 軸方向に $-\frac{1}{6}$ 、$y$ 軸方向に $-\frac{13}{12}$ 平行移動したものです。

なので、 $y = 3x^2 + x - 1$ を $x$ 軸方向に $\frac{1}{6}$ 、$y$ 軸方向に $\frac{13}{12}$ 平行移動すると、$y = 3x^2$ に重なります。

3. 最終的な答え

(1) $y = 3x^2 - 12x + 15$

(2) (ア) x軸方向に1、y軸方向に2 平行移動

(イ) x軸方向に 1/6、y軸方向に 13/12 平行移動