複素数の等式 $(x+yi)^2 = \frac{1+\sqrt{3}i}{2}$ を満たす実数 $x, y$ を求める問題です。ここで、$i$ は虚数単位を表します。

1. 問題の内容

複素数の等式 $(x+yi)^2 = \frac{1+\sqrt{3}i}{2}$ を満たす実数 $x, y$ を求める問題です。ここで、$i$ は虚数単位を表します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。

$(x+yi)^2 = x^2 + 2xyi + (yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$

したがって、

$x^2 - y^2 + 2xyi = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$

複素数の等式の実部と虚部を比較すると、以下の連立方程式が得られます。

$x^2 - y^2 = \frac{1}{2}$ (1)

$2xy = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (2)

(2)より、$xy = \frac{\sqrt{3}}{4}$ となり、$y = \frac{\sqrt{3}}{4x}$ が得られます。これを(1)に代入します。

$x^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{4x}\right)^2 = \frac{1}{2}$

$x^2 - \frac{3}{16x^2} = \frac{1}{2}$

両辺に $16x^2$ を掛けて整理します。

$16x^4 - 3 = 8x^2$

$16x^4 - 8x^2 - 3 = 0$

ここで、$X = x^2$ とおくと、$16X^2 - 8X - 3 = 0$ となります。この二次方程式を解きます。

$X = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(16)(-3)}}{2(16)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 192}}{32} = \frac{8 \pm \sqrt{256}}{32} = \frac{8 \pm 16}{32}$

$X = \frac{8+16}{32} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}$ または $X = \frac{8-16}{32} = \frac{-8}{32} = -\frac{1}{4}$

$X = x^2$ であり、$x$ は実数なので、$x^2 \geq 0$ より、$X = \frac{3}{4}$ となります。したがって、$x = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{3}}{4x}$ より、

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、$y = \frac{\sqrt{3}}{4(\frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$

$x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、$y = \frac{\sqrt{3}}{4(-\frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{\sqrt{3}}{-2\sqrt{3}} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$(x, y) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right), \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}\right)$