2次不等式 $ax^2 + (a-1)x + a-1 > 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次不等式 $ax^2 + (a-1)x + a-1 > 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

2次不等式 $ax^2 + (a-1)x + a-1 > 0$ の解がすべての実数であるための条件は、以下の2つである。

* $a > 0$ (放物線が下に凸)

* $D < 0$ (判別式が負)

まず、$a>0$ の条件を確認する。

次に、判別式 $D$ を計算する。

$D = (a-1)^2 - 4a(a-1) = a^2 - 2a + 1 - 4a^2 + 4a = -3a^2 + 2a + 1$

$D < 0$ を解く。

$-3a^2 + 2a + 1 < 0$

$3a^2 - 2a - 1 > 0$

$(3a + 1)(a - 1) > 0$

$a < -\frac{1}{3}$ または $a > 1$

$a > 0$ と $a < -\frac{1}{3}$ または $a > 1$ の共通範囲を求める。

$a > 1$

3. 最終的な答え

$a > 1$