$x^2 - 2ax + a + 5 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ を $a$ を用いて表す。 また、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ が $x^2 - kx - 5k + 2 = 0$ の2つの解となるような $a$ と $k$ の値を求める。

1. 問題の内容

$x^2 - 2ax + a + 5 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ を $a$ を用いて表す。

また、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ が $x^2 - kx - 5k + 2 = 0$ の2つの解となるような $a$ と $k$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 2a$

$\alpha \beta = a + 5$

よって、ア = 2, イ = 5

(2) $\alpha + \beta = 2a$ と $\alpha \beta = a+5$ が $x^2 - kx - 5k + 2 = 0$ の解であるから、解と係数の関係より、

$2a + (a+5) = k$

$2a(a+5) = -5k + 2$

(3) 上の2式から $k$ を消去する。

$k = 3a + 5$

$2a(a+5) = -5(3a+5) + 2$

$2a^2 + 10a = -15a - 25 + 2$

$2a^2 + 25a + 23 = 0$

$(2a + 23)(a+1) = 0$

$a = -1, -\frac{23}{2}$

(4) $a = -1$ のとき、

$k = 3(-1) + 5 = 2$

(5) $a = -\frac{23}{2}$ のとき、

$k = 3(-\frac{23}{2}) + 5 = -\frac{69}{2} + \frac{10}{2} = -\frac{59}{2}$

したがって、$a = -1, k = 2$ または $a = -\frac{23}{2}, k = -\frac{59}{2}$

3. 最終的な答え

ア = 2

イ = 5

a = -1, k = 2

または a = -23/2, k = -59/2