## 問題の解説

## 問題の解説

**【1】**

有理数 $a, b$ に関する条件 $p, q, r$ が以下のように定義されています。

* $p: a$ は整数

* $q: a, b$ のうち少なくとも一方は整数

* $r: a+b, ab$ はともに整数

(1) 条件「$p$ または $\overline{q}$」の否定と同じ条件を表すものを選択する問題です。

(2) 命題「$p$ または $\overline{q} \Rightarrow r$」の真偽、およびその逆の真偽を判定し、条件 $r$ が条件「$p$ または $\overline{q}$」が成り立つための何であるかを判定する問題です。

**【2】**

$x$ についての不等式 $\frac{x+a}{2} < x+2 < \frac{2x+2a+7}{3} \cdots ①$ について、

(1) $x = 3$ が不等式①を満たすとき、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

(2) 不等式①を満たす実数 $x$ が存在するとき、$a$ の値の範囲を求め、このときの不等式①の解を求める問題です。

## 解き方の手順

**【1】**

(1) 条件「$p$ または $\overline{q}$」の否定は、「$\overline{p}$ かつ $q$」です。

* $\overline{p}: a$ は整数でない

* $q: a, b$ のうち少なくとも一方は整数

* $\overline{q}: a$ も $b$ も整数でない

よって、「$\overline{p}$ かつ $q$」は「$a$ は整数でなく、かつ $a, b$ のうち少なくとも一方は整数」となります。これは「$a$ は整数でない有理数 かつ $b$ は整数」と同値です。

(2) 命題「$p$ または $\overline{q} \Rightarrow r$」について

* $p$ または $\overline{q}: a$ が整数 または $a$ も $b$ も整数でない

* $a$ が整数のとき、 $a + b$ と $ab$ が整数であるためには $b$ が整数でなければなりません。

* $a$ も $b$ も整数でない場合、$a + b$ と $ab$ が整数になることはあり得ます。

* したがって、命題は偽です。

* 逆の命題「$r \Rightarrow p$ または $\overline{q}$」について

* $r: a + b$ と $ab$ が整数

* $p$ または $\overline{q}: a$ が整数、または、$a$ も $b$ も整数でない

$a + b = A, ab = B$ とおく。$a,b$ は $x^2 - Ax + B = 0$ の解である。

$a = \frac{A + \sqrt{A^2 - 4B}}{2}$

もし $A^2 - 4B$ が平方数であれば、$a,b$ は整数になる。そうでなければ、$a,b$は整数でない。

したがって命題は真です。

条件 $r$ は条件「$p$ または $\overline{q}$」が成り立つための必要条件ですが、十分条件ではありません。

**【2】**

(1) $x=3$ を不等式①に代入すると、

$\frac{3+a}{2} < 5 < \frac{6+2a+7}{3}$

$\frac{3+a}{2} < 5$ より、$3+a < 10$ なので、$a < 7$

$5 < \frac{6+2a+7}{3}$ より、$15 < 13 + 2a$ なので、$2 < 2a$ よって $a > 1$

したがって、$1 < a < 7$

(2) 不等式①を解く。

$\frac{x+a}{2} < x+2$ より、$x+a < 2x+4$ なので、$x > a-4$

$x+2 < \frac{2x+2a+7}{3}$ より、$3x+6 < 2x+2a+7$ なので、$x < 2a+1$

不等式①を満たす実数 $x$ が存在するためには、$a-4 < 2a+1$ でなければならない。

したがって、 $-5 < a$

このとき、不等式①の解は、$a-4 < x < 2a+1$

## 最終的な答え

**【1】**

(1) ②

(2) イ：偽、ウ：真、エ：必要条件であるが十分条件ではない

**【2】**

(1) $1 < a < 7$

(2) $a > -5$, 解は $a-4 < x < 2a+1$