与えられた分数の分母と分子をそれぞれ計算し、その結果を割ることで式を簡略化する問題です。与えられた式は以下の通りです。 $\frac{\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} - \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}}{\frac{a+b}{a-b} - \frac{a-b}{a+b}}$

1. 問題の内容

与えられた分数の分母と分子をそれぞれ計算し、その結果を割ることで式を簡略化する問題です。与えられた式は以下の通りです。

$\frac{\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} - \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}}{\frac{a+b}{a-b} - \frac{a-b}{a+b}}$

2. 解き方の手順

まず、分子を計算します。

$\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} - \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} = \frac{(a^2+b^2)^2 - (a^2-b^2)^2}{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}$

分子の分子を展開して整理すると：

$(a^2+b^2)^2 - (a^2-b^2)^2 = (a^4 + 2a^2b^2 + b^4) - (a^4 - 2a^2b^2 + b^4) = 4a^2b^2$

分子の分母は：

$(a^2-b^2)(a^2+b^2) = a^4 - b^4$

したがって、分子は：

$\frac{4a^2b^2}{a^4 - b^4}$

次に、分母を計算します。

$\frac{a+b}{a-b} - \frac{a-b}{a+b} = \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{(a-b)(a+b)}$

分子を展開して整理すると：

$(a+b)^2 - (a-b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = 4ab$

分母は：

$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

したがって、分母は：

$\frac{4ab}{a^2 - b^2}$

与えられた式は：

$\frac{\frac{4a^2b^2}{a^4 - b^4}}{\frac{4ab}{a^2 - b^2}} = \frac{4a^2b^2}{a^4 - b^4} \cdot \frac{a^2 - b^2}{4ab} = \frac{4a^2b^2}{4ab} \cdot \frac{a^2 - b^2}{a^4 - b^4}$

$a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$なので、

$\frac{ab (a^2-b^2)}{(a^2-b^2)(a^2+b^2)} = \frac{ab}{a^2 + b^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{ab}{a^2+b^2}$