数列$\{a_n\}$が$a_1 = \frac{1}{3}, a_{n+1} = \frac{1-a_n}{3-4a_n}$で定義されるとき、$a_n = \frac{n}{2n+1}$が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明する問題です。
2025/7/1
1. 問題の内容
数列がで定義されるとき、が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明する問題です。
2. 解き方の手順
(I) のとき、となり、与えられた条件と一致するので、のとき成り立つ。
(II) のとき、が成り立つと仮定する。
のとき、である。
を代入すると、
となる。
これはのにを代入した式であるから、のときも成り立つ。
3. 最終的な答え
ア:
イ:
ウ: