数列$\{a_n\}$が$a_1 = \frac{1}{3}, a_{n+1} = \frac{1-a_n}{3-4a_n}$で定義されるとき、$a_n = \frac{n}{2n+1}$が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明する問題です。

代数学数列数学的帰納法漸化式代数
2025/7/1

1. 問題の内容

数列{an}\{a_n\}a1=13,an+1=1an34ana_1 = \frac{1}{3}, a_{n+1} = \frac{1-a_n}{3-4a_n}で定義されるとき、an=n2n+1a_n = \frac{n}{2n+1}が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明する問題です。

2. 解き方の手順

(I) n=1n=1のとき、a1=12(1)+1=13a_1 = \frac{1}{2(1)+1} = \frac{1}{3}となり、与えられた条件a1=13a_1 = \frac{1}{3}と一致するので、n=1n=1のとき成り立つ。
(II) n=kn=kのとき、ak=k2k+1a_k = \frac{k}{2k+1}が成り立つと仮定する。
n=k+1n=k+1のとき、ak+1=1ak34aka_{k+1} = \frac{1-a_k}{3-4a_k}である。
ak=k2k+1a_k = \frac{k}{2k+1}を代入すると、
ak+1=1k2k+134k2k+1=2k+1k2k+13(2k+1)4k2k+1=k+16k+34k=k+12k+3=k+12(k+1)+1a_{k+1} = \frac{1-\frac{k}{2k+1}}{3-4\frac{k}{2k+1}} = \frac{\frac{2k+1-k}{2k+1}}{\frac{3(2k+1)-4k}{2k+1}} = \frac{k+1}{6k+3-4k} = \frac{k+1}{2k+3} = \frac{k+1}{2(k+1)+1}となる。
これはan=n2n+1a_n = \frac{n}{2n+1}nnk+1k+1を代入した式であるから、n=k+1n=k+1のときも成り立つ。

3. 最終的な答え

ア: k2k+1\frac{k}{2k+1}
イ: ak+1a_{k+1}
ウ: k+12k+3\frac{k+1}{2k+3}

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