直線 $y = \frac{3}{4}x - 2$ 上を動く点Pと、円 $x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4 = 0$ の周上を動く点Qがある。線分PQの長さの最小値を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $y = \frac{3}{4}x - 2$ 上を動く点Pと、円 $x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4 = 0$ の周上を動く点Qがある。線分PQの長さの最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、円の方程式を標準形に変形する。

$x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4 = 0$

$(x^2 - 4x) + (y^2 - 2y) + 4 = 0$

$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) + 4 - 4 - 1 = 0$

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 1$

よって、円の中心は(2, 1)で、半径は1である。

次に、円の中心(2, 1)から直線 $y = \frac{3}{4}x - 2$ までの距離を求める。

直線の式を変形すると、$3x - 4y - 8 = 0$となる。

点と直線の距離の公式より、

$d = \frac{|3(2) - 4(1) - 8|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|6 - 4 - 8|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-6|}{\sqrt{25}} = \frac{6}{5}$

線分PQの長さの最小値は、円の中心から直線までの距離から円の半径を引いたものとなる。

最小値 = $\frac{6}{5} - 1 = \frac{6}{5} - \frac{5}{5} = \frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

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