与えられた式 $\frac{1}{\sin^2 40^\circ} - \tan^2 130^\circ$ の値を求めます。

はい、承知いたしました。問題の解答を以下に示します。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{\sin^2 40^\circ} - \tan^2 130^\circ$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\tan 130^\circ$ を変形します。

$\tan 130^\circ = \tan (180^\circ - 50^\circ) = - \tan 50^\circ$

したがって、$\tan^2 130^\circ = (-\tan 50^\circ)^2 = \tan^2 50^\circ$

次に、$\sin 40^\circ$ と $\tan 50^\circ$の関係を探ります。

$50^\circ = 90^\circ - 40^\circ$ より、$\tan 50^\circ = \tan (90^\circ - 40^\circ) = \frac{1}{\tan 40^\circ} = \frac{\cos 40^\circ}{\sin 40^\circ}$

与えられた式は、

$\frac{1}{\sin^2 40^\circ} - \tan^2 130^\circ = \frac{1}{\sin^2 40^\circ} - \tan^2 50^\circ = \frac{1}{\sin^2 40^\circ} - \frac{\sin^2 50^\circ}{\cos^2 50^\circ} = \frac{1}{\sin^2 40^\circ} - \frac{\cos^2 40^\circ}{\sin^2 40^\circ}$

よって、

$\frac{1}{\sin^2 40^\circ} - \frac{\cos^2 40^\circ}{\sin^2 40^\circ} = \frac{1 - \cos^2 40^\circ}{\sin^2 40^\circ}$

三角関数の恒等式 $1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$ を用いると、

$\frac{1 - \cos^2 40^\circ}{\sin^2 40^\circ} = \frac{\sin^2 40^\circ}{\sin^2 40^\circ} = 1$

3. 最終的な答え

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