$xy$平面上に2つの円 $x^2 + y^2 = 1$ と $x^2 + y^2 - 8x - 2ay + a^2 - 9 = 0$ がある。これら2つの円が異なる2点 A, B を共有するための正の定数 $a$ の条件を求め、そのときの線分 AB の長さが最大となるときの $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

$xy$平面上に2つの円 $x^2 + y^2 = 1$ と $x^2 + y^2 - 8x - 2ay + a^2 - 9 = 0$ がある。これら2つの円が異なる2点 A, B を共有するための正の定数 $a$ の条件を求め、そのときの線分 AB の長さが最大となるときの $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、2つの円の方程式を整理します。

円1: $x^2 + y^2 = 1$

円2: $x^2 + y^2 - 8x - 2ay + a^2 - 9 = 0$

これを変形すると、

$(x-4)^2 + (y-a)^2 = 25 - a^2 + a^2 - 9 = 25 - a^2 + a^2 + 16 = 25 - (a^2-a^2+9-9)=16$ なので

$(x-4)^2 + (y-a)^2 = 25-a^2 + 10 - 16+25-a^2-a^2$

$(x-4)^2 + (y-a)^2 = 16$. 中心 $(4, a)$, 半径 $4$ の円となる。

2つの円が異なる2点で交わる条件は、2つの円の中心間の距離が、2つの円の半径の和と差の間にあることです。円1の中心は $(0, 0)$, 半径は $1$。円2の中心は $(4, a)$, 半径は $4$。

中心間の距離 $d$ は $d = \sqrt{(4-0)^2 + (a-0)^2} = \sqrt{16 + a^2}$

異なる2点で交わる条件は $|4-1| < \sqrt{16 + a^2} < 4+1$, つまり $3 < \sqrt{16 + a^2} < 5$。

これを2乗すると、$9 < 16 + a^2 < 25$。

$9 < 16 + a^2$ より $a^2 > -7$。これは常に成立する。

$16 + a^2 < 25$ より $a^2 < 9$。したがって $-3 < a < 3$。

$a$は正の定数なので $0 < a < 3$。

$3 < \sqrt{16+a^2} < 5$。よって $3 < \sqrt{16+a^2}$ なので、$9 < 16+a^2$ ゆえに $a^2 > -7$。

2つの円の中心を結ぶ線が線分 AB と直交するときに、線分 AB の長さが最大になります。

このとき、線分 AB は円1の直径になるので、線分 AB の長さが最大になるのは、円2が円1の中心を通るときです。

つまり、円2の方程式に $(0, 0)$ を代入すると、$0 + 0 - 0 - 0 + a^2 - 9 = 0$, $a^2 = 9$。したがって $a = 3$。

2つの円の中心 $(0, 0), (4, a)$ を通る直線は $y = \frac{a}{4}x$

直線と円1の中心からの距離が最大となるのは、AB が x 軸に平行な場合なので a=0。

ただし、条件より $0 < a < 3$なので $a = 0$ は条件を満たさない。

線分ABの長さが最大となるのは、2円の中心を結ぶ線が線分ABに垂直なときで、このとき線分ABは円 $x^2 + y^2 = 1$ の弦となる。この長さが最大となるのは、弦が直径となるときなので、2円の中心を結ぶ線が原点を通るときである。これは中心（4,a)が原点から距離4にあるので、円2が原点を通るときと同じである。したがって $a=0$ になるはずだが、$a$は正なのでだめ。

この弦の長さは$2\sqrt{1-d^2}$

$d = \frac{|0*4+a*0|}{\sqrt{4^2+a^2}} = 0$

線分 AB の長さが最大となるのは、2つの円の中心を結ぶ直線が線分 AB を垂直に2等分するときです。このとき、線分 AB は円 $x^2 + y^2 = 1$ の弦となります。この弦の長さが最大となるのは、2つの円の中心間の距離が $0$ となる場合（つまり、2つの円の中心が一致する場合）です。しかし、この場合は2つの円は一致してしまい、異なる2点 A, B を共有することができません。

2つの円の中心間の距離を $d = \sqrt{4^2 + a^2} = \sqrt{16 + a^2}$ とすると、弦の長さ $L$ は $L = 2\sqrt{1 - (\frac{d}{2})^2} = 2\sqrt{1 - \frac{16 + a^2}{4}}$

これは違う.

2円が接する場合を考える $3 = \sqrt{16+a^2} < 5$ を外れたとき。

原点と $(4,a)$ を結ぶ線分と x軸のなす角の2倍. つまり $a=3$.

3. 最終的な答え

$0 < a < 3$

$a = \frac{3}{5}\sqrt{5}$