## 解答

## 解答

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1. 問題の内容

1. $\theta$は鋭角で、$\sin\theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\cos\theta$と$\tan\theta$の値を求める。

2. $\sin\theta - \cos\theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\frac{1}{\sin\theta} - \frac{1}{\cos\theta}$の値を求める。

3. 三角形ABCにおいて、$\angle A = 60^\circ$, $AB = 6$, $AC = 7$のとき、三角形ABCの面積S、辺BCの長さ、三角形ABCの外接円の半径Rを求める。

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2. 解き方の手順

**(1) $\sin\theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\cos\theta$と$\tan\theta$の値を求める。**

* $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ の関係を利用する。

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

* $\theta$は鋭角なので、$\cos\theta > 0$。よって、$\cos\theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

* $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

**(2) $\sin\theta - \cos\theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\frac{1}{\sin\theta} - \frac{1}{\cos\theta}$の値を求める。**

* $\frac{1}{\sin\theta} - \frac{1}{\cos\theta} = \frac{\cos\theta - \sin\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{-(\sin\theta - \cos\theta)}{\sin\theta\cos\theta}$

* $(\sin\theta - \cos\theta)^2 = \sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 - 2\sin\theta\cos\theta = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

* $1 - 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{4}$ より、$2\sin\theta\cos\theta = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

* $\sin\theta\cos\theta = \frac{3}{8}$

* $\frac{1}{\sin\theta} - \frac{1}{\cos\theta} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{3}{8}} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} = -\frac{4}{3}$

**(3) 三角形ABCにおいて、$\angle A = 60^\circ$, $AB = 6$, $AC = 7$のとき、三角形ABCの面積S、辺BCの長さ、三角形ABCの外接円の半径Rを求める。**

* 面積S: $S = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 7 \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{42\sqrt{3}}{4} = \frac{21\sqrt{3}}{2}$

* 辺BCの長さ: 余弦定理より

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cos A = 6^2 + 7^2 - 2 \cdot 6 \cdot 7 \cdot \cos 60^\circ$

$BC^2 = 36 + 49 - 2 \cdot 6 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2} = 85 - 42 = 43$

$BC = \sqrt{43}$

* 外接円の半径R: 正弦定理より

$\frac{BC}{\sin A} = 2R$

$R = \frac{BC}{2\sin A} = \frac{\sqrt{43}}{2\sin 60^\circ} = \frac{\sqrt{43}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{43}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{129}}{3}$

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3. 最終的な答え

1. $\cos\theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$, $\tan\theta = \frac{\sqrt{2}}{4}$

2. $\frac{1}{\sin\theta} - \frac{1}{\cos\theta} = -\frac{4}{3}$

3. $S = \frac{21\sqrt{3}}{2}$, $BC = \sqrt{43}$, $R = \frac{\sqrt{129}}{3}$