与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} = y^2 + 1$ の一般解が $y = \tan(x+C)$ であるとき、以下の選択肢の中から特殊解となるものを全て選ぶ。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} = y^2 + 1$ の一般解が $y = \tan(x+C)$ であるとき、以下の選択肢の中から特殊解となるものを全て選ぶ。

2. 解き方の手順

与えられた一般解 $y = \tan(x+C)$ に適切な定数 $C$ を代入することで、特殊解を得ることができる。微分方程式 $\frac{dy}{dx} = y^2 + 1$ に各選択肢を代入し、成立するかどうかを確かめる方法でも解くことができる。

* $y = -1$ の場合、$\frac{dy}{dx} = 0$ であり、$y^2 + 1 = (-1)^2 + 1 = 2$。したがって、$\frac{dy}{dx} \neq y^2 + 1$ なので、$y = -1$ は解ではない。

* $y = 0$ の場合、$\frac{dy}{dx} = 0$ であり、$y^2 + 1 = (0)^2 + 1 = 1$。したがって、$\frac{dy}{dx} \neq y^2 + 1$ なので、$y = 0$ は解ではない。

* $y = 1$ の場合、$\frac{dy}{dx} = 0$ であり、$y^2 + 1 = (1)^2 + 1 = 2$。したがって、$\frac{dy}{dx} \neq y^2 + 1$ なので、$y = 1$ は解ではない。

* $y = \tan x$ の場合、$y = \tan(x+C)$ で $C=0$ とすれば良い。$\frac{dy}{dx} = \sec^2 x$ であり、$y^2 + 1 = \tan^2 x + 1 = \sec^2 x$。したがって、$\frac{dy}{dx} = y^2 + 1$ なので、$y = \tan x$ は解である。

* $y = 2\tan x$ の場合、$\frac{dy}{dx} = 2\sec^2 x$ であり、$y^2 + 1 = (2\tan x)^2 + 1 = 4\tan^2 x + 1$。したがって、$\frac{dy}{dx} \neq y^2 + 1$ なので、$y = 2\tan x$ は解ではない。

* $y = -\frac{1}{\tan x}$ の場合、$y = -\cot x$ であり、$\frac{dy}{dx} = \csc^2 x$ であり、$y^2 + 1 = \cot^2 x + 1 = \csc^2 x$。したがって、$\frac{dy}{dx} = y^2 + 1$ なので、$y = -\frac{1}{\tan x} = - \cot x$ は解である。しかし、これは $y = \tan(x+C)$ の形にならない。

$-\cot x = \tan(x + \frac{\pi}{2})$

と表せるので、$C = \frac{\pi}{2}$ とすれば一般解に含まれる。

* $y = \tan(x+1)$ の場合、$y = \tan(x+C)$ で $C=1$ とすれば良い。したがって、$y = \tan(x+1)$ は解である。

* $y = \tan(x+\frac{\pi}{6})$ の場合、$y = \tan(x+C)$ で $C=\frac{\pi}{6}$ とすれば良い。したがって、$y = \tan(x+\frac{\pi}{6})$ は解である。

3. 最終的な答え

$y = \tan x$

$y = \tan(x+1)$

$y = \tan(x+\frac{\pi}{6})$

$y = -\frac{1}{\tan x}$