与えられた2階線形非同次微分方程式を解く問題です。 $y'' - 2y' + 2y = -3e^x \sin 2x$

1. 問題の内容

与えられた2階線形非同次微分方程式を解く問題です。

$y'' - 2y' + 2y = -3e^x \sin 2x$

2. 解き方の手順

(1) 同次方程式の解を求める:

まず、同次方程式 $y'' - 2y' + 2y = 0$ の解を求めます。特性方程式は次のようになります。

$r^2 - 2r + 2 = 0$

これを解くと、

$r = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = 1 \pm i$

したがって、同次方程式の一般解は次のようになります。

$y_h(x) = c_1 e^x \cos x + c_2 e^x \sin x$

ここで、$c_1$と$c_2$は任意定数です。

(2) 特殊解を求める:

非同次項が $-3e^x \sin 2x$ であるため、特殊解を $y_p(x) = e^x(A \cos 2x + B \sin 2x)$ の形であると仮定します。

$y_p'(x) = e^x(A \cos 2x + B \sin 2x) + e^x(-2A \sin 2x + 2B \cos 2x) = e^x[(A+2B) \cos 2x + (B-2A) \sin 2x]$

$y_p''(x) = e^x[(A+2B) \cos 2x + (B-2A) \sin 2x] + e^x[-2(A+2B) \sin 2x + 2(B-2A) \cos 2x] = e^x[(-3A + 4B) \cos 2x + (-4A - 3B) \sin 2x]$

これらを元の微分方程式に代入します。

$y_p'' - 2y_p' + 2y_p = e^x[(-3A + 4B) \cos 2x + (-4A - 3B) \sin 2x] - 2e^x[(A+2B) \cos 2x + (B-2A) \sin 2x] + 2e^x[A \cos 2x + B \sin 2x] = -3e^x \sin 2x$

整理すると、

$e^x[(-3A + 4B - 2A - 4B + 2A) \cos 2x + (-4A - 3B - 2B + 4A + 2B) \sin 2x] = -3e^x \sin 2x$

$e^x[(-3A) \cos 2x + (-3B) \sin 2x] = -3e^x \sin 2x$

したがって、次の連立方程式が得られます。

$-3A = 0$

$-3B = -3$

これから、$A = 0$ および $B = 1$ が得られます。

したがって、特殊解は次のようになります。

$y_p(x) = e^x \sin 2x$

(3) 一般解を求める:

一般解は、同次方程式の解と特殊解の和として与えられます。

$y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c_1 e^x \cos x + c_2 e^x \sin x + e^x \sin 2x$

3. 最終的な答え

$y(x) = c_1 e^x \cos x + c_2 e^x \sin x + e^x \sin 2x$