極限 $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x} - ax - b) = 5$ が成り立つように、定数 $a$ と $b$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x} - ax - b) = 5$ が成り立つように、定数 $a$ と $b$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

まず、極限が存在するためには、$x \to \infty$ において $\sqrt{x^2+4x}$ と $ax$ の主要な項が打ち消し合う必要があります。

$\sqrt{x^2+4x}$ は、$x$ が大きいとき、$x$ に近い値になるので、$a=1$ である必要があります。

もし、$a \neq 1$ であれば、極限は $\infty$ か $-\infty$ に発散してしまいます。

$a=1$ のとき、極限は

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x} - x - b)$

となります。ここで、有理化を行います。

$\sqrt{x^2 + 4x} - x - b = \frac{(\sqrt{x^2 + 4x} - (x + b))(\sqrt{x^2 + 4x} + (x + b))}{\sqrt{x^2 + 4x} + (x + b)}$

$= \frac{(x^2 + 4x) - (x^2 + 2bx + b^2)}{\sqrt{x^2 + 4x} + x + b}$

$= \frac{4x - 2bx - b^2}{\sqrt{x^2 + 4x} + x + b}$

$= \frac{(4 - 2b)x - b^2}{\sqrt{x^2 + 4x} + x + b}$

ここで、分子と分母を $x$ で割ります。

$= \frac{(4 - 2b) - \frac{b^2}{x}}{\sqrt{1 + \frac{4}{x}} + 1 + \frac{b}{x}}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{b^2}{x} \to 0$ と $\frac{4}{x} \to 0$ と $\frac{b}{x} \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{(4 - 2b) - \frac{b^2}{x}}{\sqrt{1 + \frac{4}{x}} + 1 + \frac{b}{x}} = \frac{4 - 2b}{\sqrt{1} + 1} = \frac{4 - 2b}{2} = 2 - b$

これが5に等しいので、

$2 - b = 5$

$b = 2 - 5 = -3$

したがって、$a = 1$、$b = -3$ です。

3. 最終的な答え

$a = 1$, $b = -3$