(1) 定積分 $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1-x} dx$ の値を求めよ。 (2) $0 \le x \le \frac{1}{2}$ のとき、不等式 $1+x \le \frac{1}{1-x} \le 1+2x$ が成り立つことを示せ。 (3) (2)を利用して、$\frac{5}{8} < \log 2 < \frac{3}{4}$ であることを示せ。

1. 問題の内容

(1) 定積分 $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1-x} dx$ の値を求めよ。

(2) $0 \le x \le \frac{1}{2}$ のとき、不等式 $1+x \le \frac{1}{1-x} \le 1+2x$ が成り立つことを示せ。

(3) (2)を利用して、$\frac{5}{8} < \log 2 < \frac{3}{4}$ であることを示せ。

2. 解き方の手順

(1) 定積分の計算

$\int \frac{1}{1-x} dx = -\log|1-x| + C$ より、

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1-x} dx = [-\log|1-x|]_{0}^{\frac{1}{2}} = -\log(1-\frac{1}{2}) - (-\log(1-0)) = -\log(\frac{1}{2}) - (-\log(1)) = -\log(2^{-1}) - 0 = -(-1)\log 2 = \log 2$

(2) 不等式の証明

$0 \le x \le \frac{1}{2}$ のとき、$1-x > 0$ であるから、

$1+x \le \frac{1}{1-x}$ を示すには、$(1+x)(1-x) \le 1$ を示せばよい。

$(1+x)(1-x) = 1-x^2 \le 1$ は、$x^2 \ge 0$ より成り立つ。

$\frac{1}{1-x} \le 1+2x$ を示すには、$\frac{1}{1-x} - (1+2x) \le 0$ を示せばよい。

$\frac{1}{1-x} - (1+2x) = \frac{1-(1+2x)(1-x)}{1-x} = \frac{1-(1-x+2x-2x^2)}{1-x} = \frac{1-(1+x-2x^2)}{1-x} = \frac{-x+2x^2}{1-x} = \frac{x(2x-1)}{1-x}$

$0 \le x \le \frac{1}{2}$ のとき、$x \ge 0$, $2x-1 \le 0$, $1-x > 0$ より、$\frac{x(2x-1)}{1-x} \le 0$ である。

したがって、$1+x \le \frac{1}{1-x} \le 1+2x$ が成り立つ。

(3) 対数の評価

(2)の結果から、$\int_{0}^{\frac{1}{2}} (1+x) dx \le \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1-x} dx \le \int_{0}^{\frac{1}{2}} (1+2x) dx$ が成り立つ。

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} (1+x) dx = [x+\frac{1}{2}x^2]_{0}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{4}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{8} = \frac{5}{8}$

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} (1+2x) dx = [x+x^2]_{0}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

また、(1)より、$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1-x} dx = \log 2$ であるから、

$\frac{5}{8} \le \log 2 \le \frac{3}{4}$ が成り立つ。

$\frac{5}{8} < \log 2 < \frac{3}{4}$ を示すためには、$\log 2 = \frac{5}{8}$ または $\log 2 = \frac{3}{4}$ が成り立たないことを示せば良い。

もし $\log 2 = \frac{5}{8}$ なら、$e^{\frac{5}{8}} = 2$ である。

もし $\log 2 = \frac{3}{4}$ なら、$e^{\frac{3}{4}} = 2$ である。

3. 最終的な答え

(1) $\log 2$

(2) 証明済み

(3) $\frac{5}{8} < \log 2 < \frac{3}{4}$