$\int \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x} dx$ を計算する問題です。 $\sqrt{a^2-x^2} = t$ とおくことで、$x^2 = a^2 - t^2$、$2x dx = -2t dt$ という関係式が得られます。

1. 問題の内容

$\int \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x} dx$ を計算する問題です。

$\sqrt{a^2-x^2} = t$ とおくことで、$x^2 = a^2 - t^2$、$2x dx = -2t dt$ という関係式が得られます。

2. 解き方の手順

与えられた置換 $\sqrt{a^2 - x^2} = t$ を使って積分を計算します。

まず、$x^2 = a^2 - t^2$ より、$x = \sqrt{a^2-t^2}$ であることに注意します。

また、$2x dx = -2t dt$ より、$x dx = -t dt$ ですから、$dx = -\frac{t}{x} dt = -\frac{t}{\sqrt{a^2-t^2}} dt$ となります。

よって、

$$\int \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{x} dx = \int \frac{t}{x} \left( -\frac{t}{x} \right) x dx = \int \frac{t}{\sqrt{a^2-t^2}} \left(-\frac{t}{\sqrt{a^2-t^2}} \right) dt = \int \frac{t}{x} dx = \int \frac{t}{x} \left(-\frac{t}{x}dt\right) = \int \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x} dx$$

$$\int \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{x} dx = \int \frac{t}{\sqrt{a^2 - t^2}} \left(-\frac{t}{\sqrt{a^2 - t^2}} dt\right)$$

元の積分を次のように書き換えます。

$$\int \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x} dx = \int \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x^2} x dx$$

ここで、$x dx = -t dt$ および $\sqrt{a^2 - x^2} = t$ および $x^2 = a^2 - t^2$ を代入すると、

$$\int \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x^2} x dx = \int \frac{t}{a^2-t^2} (-t) dt = - \int \frac{t^2}{a^2 - t^2} dt$$

$$= - \int \frac{a^2 - (a^2 - t^2)}{a^2 - t^2} dt = - \int \frac{a^2}{a^2 - t^2} dt + \int \frac{a^2 - t^2}{a^2 - t^2} dt = - \int \frac{a^2}{a^2 - t^2} dt + \int 1 dt$$

$$= -a^2 \int \frac{1}{a^2 - t^2} dt + t = -a^2 \int \frac{1}{(a-t)(a+t)} dt + t = - \frac{a^2}{2a} \int \left( \frac{1}{a+t} + \frac{1}{a-t} \right) dt + t$$

$$= -\frac{a}{2} \left( \ln|a+t| - \ln|a-t| \right) + t + C = -\frac{a}{2} \ln\left| \frac{a+t}{a-t} \right| + t + C = -\frac{a}{2} \ln\left| \frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{a-\sqrt{a^2-x^2}} \right| + \sqrt{a^2-x^2} + C$$

$$= \sqrt{a^2 - x^2} - a \tanh^{-1}\left(\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}\right) + C$$

3. 最終的な答え

$\sqrt{a^2 - x^2} - a \tanh^{-1}\left(\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}\right) + C$

または

$\sqrt{a^2 - x^2} - \frac{a}{2}\ln\left|\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{a-\sqrt{a^2-x^2}}\right| + C$