与えられた無限級数の和を求める問題です。 具体的には、以下の式で表される級数の和が $\frac{\pi}{2}$ であることを示します。 $$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2} \frac{1}{2k+1} = \frac{\pi}{2} $$

1. 問題の内容

与えられた無限級数の和を求める問題です。

具体的には、以下の式で表される級数の和が $\frac{\pi}{2}$ であることを示します。

$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2} \frac{1}{2k+1} = \frac{\pi}{2}$$

2. 解き方の手順

この問題は、Wallisの積の公式を利用して解くことができます。Wallisの積の公式は以下のように表されます。

$$\frac{\pi}{2} = \prod_{k=1}^{\infty} \frac{(2k)^2}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdots$$

まず、与えられた級数の一般項を $a_k$ とします。

$$a_k = \frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2} \frac{1}{2k+1}$$

ここで、$(2k)!$ を二重階乗を使って表すと、

$$(2k)! = (2k)!!(2k-1)!! = 2^k k! (2k-1)!!$$

したがって、

$$a_k = \frac{2^k k! (2k-1)!!}{2^{2k}(k!)^2} \frac{1}{2k+1} = \frac{(2k-1)!!}{2^k k! (2k+1)}$$

次に、$(2k)!! = 2^k k!$ であることを利用すると、

$$a_k = \frac{(2k-1)!!}{(2k)!! (2k+1)}$$

ベータ関数との関連を考えます。

$$B(x,y) = \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} dt = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$$

ここで、$\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$ を用いると、

$$\int_0^{\pi/2} \sin^{2k+1} \theta d\theta = \frac{2^{2k} (k!)^2}{(2k+1)!} = \frac{((2k)!!)^2}{(2k+1)!} = \frac{2^{2k} (k!)^2}{(2k+1)(2k)!}$$

$$\frac{(2k)!}{2^{2k} (k!)^2 (2k+1)} = \frac{1}{\int_0^{\pi/2} (2k+1) \sin^{2k} \theta d\theta}$$

Wallis積は以下のようにも表せます。

$$\frac{\pi}{2} = \lim_{n\to\infty} \frac{2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 6 \cdots (2n)(2n)}{1 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdots (2n-1)(2n+1)}$$

積分を利用したアプローチとして

$$\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin(x) |_0^1 = \frac{\pi}{2}$$

$$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k)!}{2^{2k} (k!)^2} x^{2k}$$

両辺を0から1まで積分すると

$$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int_0^1 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k)!}{2^{2k} (k!)^2} x^{2k} dx = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k)!}{2^{2k} (k!)^2} \int_0^1 x^{2k} dx = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k)!}{2^{2k} (k!)^2} \frac{1}{2k+1}$$

3. 最終的な答え

$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2} \frac{1}{2k+1} = \frac{\pi}{2}$$