与えられた積分$\int (x+5)\sqrt{\frac{x+1}{2x+5}} dx$を、中間変数$J_1, J_2, J_3$を用いて計算する問題。最後に積分結果を求め、分母の有理化が行われている。

1. 問題の内容

与えられた積分$\int (x+5)\sqrt{\frac{x+1}{2x+5}} dx$を、中間変数$J_1, J_2, J_3$を用いて計算する問題。最後に積分結果を求め、分母の有理化が行われている。

2. 解き方の手順

積分を$J_1, J_2, J_3$の線形結合で表し、それらの具体的な形を代入して整理していく。

ステップ1: 与えられた積分を$J_1, J_2, J_3$で表す。

$$\int (x+5)\sqrt{\frac{x+1}{2x+5}} dx = -\frac{15}{2}J_1 + 3J_2 + \frac{9}{2}J_3$$

ステップ2: $J_2$と$J_3$を$J_1$と$t$で表す。

$$J_2 = \frac{1}{2}\frac{t}{1-2t^2} + \frac{1}{2}J_1$$

$$J_3 = \frac{1}{4}\frac{t}{(1-2t^2)^2} + \frac{3}{8}J_2 = \frac{1}{4}\frac{t}{(1-2t^2)^2} + \frac{3}{8}\frac{t}{1-2t^2} + \frac{3}{8}J_1$$

ステップ3: これらを代入し、積分を$J_1$と$t$の式で表す。

$$-\frac{15}{2}J_1 + 3\left(\frac{1}{2}\frac{t}{1-2t^2} + \frac{1}{2}J_1\right) + \frac{9}{2}\left(\frac{1}{4}\frac{t}{(1-2t^2)^2} + \frac{3}{8}\frac{t}{1-2t^2} + \frac{3}{8}J_1\right)$$

$$= -\frac{15}{2}J_1 + \frac{3}{2}\frac{t}{1-2t^2} + \frac{3}{2}J_1 + \frac{9}{8}\frac{t}{(1-2t^2)^2} + \frac{27}{16}\frac{t}{1-2t^2} + \frac{27}{16}J_1$$

$$= \frac{9}{8}\frac{t}{(1-2t^2)^2} + \frac{51}{16}\frac{t}{1-2t^2} - \frac{69}{16}J_1$$

ステップ4: $1-2t^2 = \frac{3}{2x+5}$を代入する。

$$= \frac{1}{8}(2x+5)^2\sqrt{\frac{x+1}{2x+5}} + \frac{17}{16}(2x+5)\sqrt{\frac{x+1}{2x+5}} - \frac{69}{16}J_1$$

ステップ5: $J_1 = \frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left| \frac{1 + \sqrt{2}t}{1 - \sqrt{2}t} \right|$を代入する。

$$= \frac{1}{8}(2x+5)\sqrt{(x+1)(2x+5)} + \frac{17}{16}\sqrt{(x+1)(2x+5)} - \frac{69}{16}\frac{1}{2\sqrt{2}}\log\left|\frac{1+\sqrt{2}\sqrt{\frac{x+1}{2x+5}}}{1-\sqrt{2}\sqrt{\frac{x+1}{2x+5}}}\right|$$

$$= \left(\frac{x}{4} + \frac{27}{16}\right)\sqrt{(x+1)(2x+5)} - \frac{69}{32\sqrt{2}}\log\left|\frac{\sqrt{2x+5} + \sqrt{2}\sqrt{x+1}}{\sqrt{2x+5} - \sqrt{2}\sqrt{x+1}}\right|$$

ステップ6: $\log$の中身を分母の有理化をする。

$$\frac{\sqrt{2x+5} + \sqrt{2}\sqrt{x+1}}{\sqrt{2x+5} - \sqrt{2}\sqrt{x+1}} = \frac{(\sqrt{2x+5} + \sqrt{2}\sqrt{x+1})^2}{2x+5 - 2(x+1)} = \frac{2x+5 + 2\sqrt{2}\sqrt{(x+1)(2x+5)} + 2x+2}{3} = \frac{4x+7 + 2\sqrt{2}\sqrt{(x+1)(2x+5)}}{3}$$

したがって、

$$\left(\frac{x}{4} + \frac{27}{16}\right)\sqrt{(x+1)(2x+5)} - \frac{69}{32\sqrt{2}}\log\left|\frac{4x+7 + 2\sqrt{2}\sqrt{(x+1)(2x+5)}}{3}\right|$$

3. 最終的な答え

$$\left(\frac{x}{4} + \frac{27}{16}\right)\sqrt{(x+1)(2x+5)} - \frac{69}{32\sqrt{2}}\log\left|4x+7 + 2\sqrt{2}\sqrt{(x+1)(2x+5)}\right| + C$$

($C$は積分定数)