$\int \sin(4x) \cos(x) dx$ を計算する。

1. 問題の内容

$\int \sin(4x) \cos(x) dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

積和の公式を利用します。

$\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$

この公式を適用すると、

$\sin(4x) \cos(x) = \frac{1}{2}[\sin(4x+x) + \sin(4x-x)] = \frac{1}{2}[\sin(5x) + \sin(3x)]$

したがって、

$\int \sin(4x) \cos(x) dx = \int \frac{1}{2}[\sin(5x) + \sin(3x)] dx$

$= \frac{1}{2} \int [\sin(5x) + \sin(3x)] dx$

$= \frac{1}{2} \left[ \int \sin(5x) dx + \int \sin(3x) dx \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{5} \cos(5x) - \frac{1}{3} \cos(3x) \right] + C$

$= -\frac{1}{10} \cos(5x) - \frac{1}{6} \cos(3x) + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{10} \cos(5x) - \frac{1}{6} \cos(3x) + C$