$\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

三角関数の積を和に変換する公式 $2\sin x \cos x = \sin 2x$ を利用します。

まず、$\sin 20^\circ$ を掛けて、$\sin 20^\circ$で割ることで、式の値を変化させずに計算を進めます。

$\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ}$

$\sin 20^\circ \cos 20^\circ = \frac{1}{2} \sin 40^\circ$ を用いると、

$\frac{\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{\frac{1}{2} \sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ}$

同様に $\sin 40^\circ \cos 40^\circ = \frac{1}{2} \sin 80^\circ$ を用いると、

$\frac{\frac{1}{2} \sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin 80^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{\frac{1}{4} \sin 80^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ}$

さらに $\sin 80^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{2} \sin 160^\circ$ を用いると、

$\frac{\frac{1}{4} \sin 80^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \sin 160^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{\frac{1}{8} \sin 160^\circ}{\sin 20^\circ}$

$\sin 160^\circ = \sin (180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ$ より、

$\frac{\frac{1}{8} \sin 160^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{\frac{1}{8} \sin 20^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{1}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{8}$