与えられた2つの定積分を計算します。 (1) $\int_{1}^{3} \frac{dx}{x^3}$ (2) $\int_{1}^{0} \sqrt[7]{t^5} dt$

1. 問題の内容

与えられた2つの定積分を計算します。

(1) $\int_{1}^{3} \frac{dx}{x^3}$

(2) $\int_{1}^{0} \sqrt[7]{t^5} dt$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{1}^{3} \frac{dx}{x^3}$

まず、不定積分を計算します。

$\int \frac{1}{x^3} dx = \int x^{-3} dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{1}^{3} \frac{dx}{x^3} = \left[-\frac{1}{2x^2}\right]_{1}^{3} = -\frac{1}{2(3^2)} - \left(-\frac{1}{2(1^2)}\right) = -\frac{1}{18} + \frac{1}{2} = \frac{-1 + 9}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$

(2) $\int_{1}^{0} \sqrt[7]{t^5} dt$

まず、不定積分を計算します。

$\int \sqrt[7]{t^5} dt = \int t^{\frac{5}{7}} dt = \frac{t^{\frac{5}{7} + 1}}{\frac{5}{7} + 1} + C = \frac{t^{\frac{12}{7}}}{\frac{12}{7}} + C = \frac{7}{12}t^{\frac{12}{7}} + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{1}^{0} \sqrt[7]{t^5} dt = \left[\frac{7}{12}t^{\frac{12}{7}}\right]_{1}^{0} = \frac{7}{12}(0)^{\frac{12}{7}} - \frac{7}{12}(1)^{\frac{12}{7}} = 0 - \frac{7}{12} = -\frac{7}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4}{9}$

(2) $-\frac{7}{12}$