与えられた積分 $\int x \sin^{-1} x \, dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int x \sin^{-1} x \, dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を用いて計算します。

部分積分の公式は $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ です。

ここで、 $u = \sin^{-1} x$、 $dv = x \, dx$ とすると、$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$、 $v = \frac{1}{2}x^2$ となります。

したがって、

$\int x \sin^{-1} x \, dx = \frac{1}{2}x^2 \sin^{-1} x - \int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$

次に、$\int \frac{1}{2} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$ を計算します。

$\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{x (- \sqrt{1-x^2})'}{x}$

部分積分 $\int x^2 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int x^2 (- (1-x^2)^{1/2})' \, dx$ を計算する代わりに、以下の積分を実行します

$\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \int \frac{x \cdot x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \int x \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$.

ここで $v = \sqrt{1-x^2}$ と置くと、$v' = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$ となるので、$x = -v' \sqrt{1-x^2}$ となります。

したがって$\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = -\int (-v') \sqrt{1-x^2}dx = \int v' \sqrt{1-x^2} \, dx$ と置換することにします

$-x = v' \sqrt{1-x^2}$.

そうすると$\frac{1}{2} x^2 \sin^{-1} x + \int \frac{-1}{2} \sqrt{1-x^2}'dx = -\frac{x}{2} \sqrt{1-x^2}$

したがって $\int \frac{1}{2} x^2 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx= \frac{1}{2}x^2 sin^{-1} x + \frac{1}{2} (1-x^2) = -\frac{x}{2} \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2} \sin^{-1}x +C$。

元の積分に代入すると、

$\int x \sin^{-1} x \, dx = \frac{1}{2}x^2 \sin^{-1} x - \frac{-x \sqrt{1-x^2}}{2} - \frac{1}{2}\sin^{-1}x$

$= \frac{1}{2}x^2 \sin^{-1} x + \frac{x \sqrt{1-x^2}}{2} - \frac{1}{2}\sin^{-1}x + C$.

したがって、答えは $\frac{1}{2}x^2 \sin^{-1} x + \frac{x \sqrt{1-x^2}}{2} - \frac{1}{2}\sin^{-1}x + C$.

問題文にある画像の途中計算の答えと一致しないため計算をやり直します。

再び$u = \arcsin(x)$　、$dv = x dx$とすると$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$、$v=\frac{x^2}{2}$

$\int x \arcsin(x) dx = \frac{x^2}{2} \arcsin(x) - \int \frac{x^2}{2} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \frac{x^2}{2} \arcsin(x) - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx$

ここで$x = \sin(t)$と置換すると$dx = \cos(t) dt$

$\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int \frac{\sin^2(t)}{\cos(t)} \cos(t) dt = \int \sin^2(t) dt = \int \frac{1-\cos(2t)}{2} dt = \frac{1}{2}t - \frac{1}{4} \sin(2t) = \frac{1}{2} t - \frac{1}{2}\sin(t)\cos(t) = \frac{1}{2}\arcsin(x) - \frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}$

$\int x \arcsin(x) dx = \frac{x^2}{2} \arcsin(x) - \frac{1}{2} (\frac{1}{2}\arcsin(x) - \frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2} ) + C = \frac{x^2}{2} \arcsin(x) - \frac{1}{4} \arcsin(x) + \frac{x}{4}\sqrt{1-x^2} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}x^2 \sin^{-1} x + \frac{1}{4} x\sqrt{1-x^2} - \frac{1}{4} \sin^{-1} x + C$