以下の3つの定積分を計算する問題です。 (1) $\int_{1}^{3} \frac{dx}{x^3}$ (2) $\int_{\pi}^{0} \sqrt{t^5} dt$ (3) $\int_{2}^{4} \frac{dy}{\sqrt{y^3}}$

1. 問題の内容

以下の3つの定積分を計算する問題です。

(1) $\int_{1}^{3} \frac{dx}{x^3}$

(2) $\int_{\pi}^{0} \sqrt{t^5} dt$

(3) $\int_{2}^{4} \frac{dy}{\sqrt{y^3}}$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{1}^{3} \frac{dx}{x^3}$ の計算

まず、$\frac{1}{x^3}$ を $x^{-3}$ と書き換えます。

次に、不定積分を求めます。

$\int x^{-3} dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$

定積分を計算します。

$\int_{1}^{3} \frac{dx}{x^3} = \left[ -\frac{1}{2x^2} \right]_{1}^{3} = -\frac{1}{2(3^2)} - \left( -\frac{1}{2(1^2)} \right) = -\frac{1}{18} + \frac{1}{2} = \frac{-1+9}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$

(2) $\int_{\pi}^{0} \sqrt{t^5} dt$ の計算

$\sqrt{t^5} = t^{5/2}$ なので、積分は $\int_{\pi}^{0} t^{5/2} dt$ となります。

不定積分を求めます。

$\int t^{5/2} dt = \frac{t^{7/2}}{7/2} + C = \frac{2}{7} t^{7/2} + C$

定積分を計算します。

$\int_{\pi}^{0} t^{5/2} dt = \left[ \frac{2}{7} t^{7/2} \right]_{\pi}^{0} = \frac{2}{7} (0^{7/2}) - \frac{2}{7} (\pi^{7/2}) = 0 - \frac{2}{7} \pi^{7/2} = -\frac{2}{7} \pi^{7/2}$

(3) $\int_{2}^{4} \frac{dy}{\sqrt{y^3}}$ の計算

$\frac{1}{\sqrt{y^3}} = \frac{1}{y^{3/2}} = y^{-3/2}$ なので、積分は $\int_{2}^{4} y^{-3/2} dy$ となります。

不定積分を求めます。

$\int y^{-3/2} dy = \frac{y^{-1/2}}{-1/2} + C = -2y^{-1/2} + C = -\frac{2}{\sqrt{y}} + C$

定積分を計算します。

$\int_{2}^{4} y^{-3/2} dy = \left[ -\frac{2}{\sqrt{y}} \right]_{2}^{4} = -\frac{2}{\sqrt{4}} - \left( -\frac{2}{\sqrt{2}} \right) = -\frac{2}{2} + \frac{2}{\sqrt{2}} = -1 + \sqrt{2} = \sqrt{2} - 1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4}{9}$

(2) $-\frac{2}{7} \pi^{7/2}$

(3) $\sqrt{2} - 1$