$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、以下の不等式を解く問題です。 (1) $\cos(\theta + \frac{\pi}{6}) \ge \frac{1}{2}$ (2) $\sin(\theta - \frac{\pi}{4}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$ (3) $\tan(\theta + \frac{\pi}{4}) > \sqrt{3}$

はい、承知いたしました。画像にある三角関数の不等式を解きます。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、以下の不等式を解く問題です。

(1) $\cos(\theta + \frac{\pi}{6}) \ge \frac{1}{2}$

(2) $\sin(\theta - \frac{\pi}{4}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

(3) $\tan(\theta + \frac{\pi}{4}) > \sqrt{3}$

2. 解き方の手順

(1) $\cos(\theta + \frac{\pi}{6}) \ge \frac{1}{2}$

$\alpha = \theta + \frac{\pi}{6}$ と置くと、$\cos \alpha \ge \frac{1}{2}$ となります。

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{6} \le \alpha < 2\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$ です。

$\cos \alpha = \frac{1}{2}$ となる $\alpha$ は、$\alpha = \frac{\pi}{3}$ と $\alpha = \frac{5\pi}{3}$ です。

したがって、$\frac{\pi}{6} \le \alpha \le \frac{\pi}{3}$ または $\frac{5\pi}{3} \le \alpha < \frac{13\pi}{6}$ です。

$\theta + \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{3}$ より $\theta \le \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$。

$\theta + \frac{\pi}{6} \ge \frac{5\pi}{3}$ より $\theta \ge \frac{5\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{10\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$。

(2) $\sin(\theta - \frac{\pi}{4}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\beta = \theta - \frac{\pi}{4}$ と置くと、$\sin \beta < \frac{\sqrt{3}}{2}$ となります。

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$-\frac{\pi}{4} \le \beta < 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$ です。

$\sin \beta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\beta$ は、$\beta = \frac{\pi}{3}$ と $\beta = \frac{2\pi}{3}$ です。

したがって、$-\frac{\pi}{4} \le \beta < \frac{\pi}{3}$ または $\frac{2\pi}{3} < \beta < \frac{7\pi}{4}$ です。

$\theta - \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{3}$ より $\theta < \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$。

$\theta - \frac{\pi}{4} > \frac{2\pi}{3}$ より $\theta > \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{8\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{11\pi}{12}$。

(3) $\tan(\theta + \frac{\pi}{4}) > \sqrt{3}$

$\gamma = \theta + \frac{\pi}{4}$ と置くと、$\tan \gamma > \sqrt{3}$ となります。

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{4} \le \gamma < 2\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}$ です。

$\tan \gamma = \sqrt{3}$ となる $\gamma$ は、$\gamma = \frac{\pi}{3}$ と $\gamma = \frac{4\pi}{3}$ です。

したがって、$\frac{\pi}{3} < \gamma < \frac{\pi}{2}$ または $\frac{4\pi}{3} < \gamma < \frac{3\pi}{2}$ または $\frac{7\pi}{3} < \gamma < \frac{5\pi}{2}$です。

$\theta + \frac{\pi}{4} > \frac{\pi}{3}$ より $\theta > \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$

$\theta + \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$ より $\theta < \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$

$\theta + \frac{\pi}{4} > \frac{4\pi}{3}$ より $\theta > \frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{16\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = \frac{13\pi}{12}$

$\theta + \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{2}$ より $\theta < \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{6\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$

$\theta + \frac{\pi}{4} > \frac{7\pi}{3}$ より $\theta > \frac{7\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{28\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = \frac{25\pi}{12}$

$\theta + \frac{\pi}{4} < \frac{5\pi}{2}$ より $\theta < \frac{5\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{10\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{6}$, $\frac{3\pi}{2} \le \theta < 2\pi$

(2) $0 \le \theta < \frac{7\pi}{12}$, $\frac{11\pi}{12} < \theta < 2\pi$

(3) $\frac{\pi}{12} < \theta < \frac{\pi}{4}$, $\frac{13\pi}{12} < \theta < \frac{5\pi}{4}$, $\frac{25\pi}{12} < \theta < 2\pi$