$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = \sin^2 \theta - \cos \theta$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = \sin^2 \theta - \cos \theta$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ を用いて、$y$ を $\cos \theta$ の関数として表す。

$t = \cos \theta$ とおくと、$0 \le \theta < 2\pi$ より $-1 \le t \le 1$ である。

$y$ を $t$ の関数として表し、最大値と最小値を求める。

$y = \sin^2 \theta - \cos \theta = (1 - \cos^2 \theta) - \cos \theta = 1 - \cos^2 \theta - \cos \theta$

$t = \cos \theta$ とおくと、

$y = 1 - t^2 - t = -(t^2 + t) + 1 = -\left(t + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4} + 1 = -\left(t + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{5}{4}$

$-1 \le t \le 1$ における $y$ の最大値と最小値を考える。

$y$ は $t = -\frac{1}{2}$ で最大値 $\frac{5}{4}$ をとる。

このとき、$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ であり、$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\theta = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$。

$t = 1$ のとき、$y = 1 - 1^2 - 1 = -1$

$t = -1$ のとき、$y = 1 - (-1)^2 - (-1) = 1 - 1 + 1 = 1$

$t = -1$ のとき、$y = 1$。このとき、$\cos \theta = -1$ であり、$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\theta = \pi$。

$t = 1$ のとき、$y = -1$。このとき、$\cos \theta = 1$ であり、$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\theta = 0$。

よって、最大値は $\frac{5}{4}$ であり、そのときの $\theta$ の値は $\frac{2}{3}\pi$ と $\frac{4}{3}\pi$。

最小値は $-1$ であり、そのときの $\theta$ の値は $0$。

3. 最終的な答え

最大値：$\frac{5}{4}$ ($\theta = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$ のとき)

最小値：$-1$ ($\theta = 0$ のとき)