与えられた定積分 $\int_{0}^{1} x (\arctan x)^2 dx$ を計算する問題です。問題文には、「最初と {} のところで部分積分を2回おこなう」と書かれています。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_{0}^{1} x (\arctan x)^2 dx$ を計算する問題です。問題文には、「最初と {} のところで部分積分を2回おこなう」と書かれています。

2. 解き方の手順

与えられた式はすでにいくつかのステップを経ていますので、それらを追いながら計算を進めます。

まず、最初に部分積分を行います。$u = (\arctan x)^2$, $dv = x dx$ とすると、$du = 2 \arctan x \cdot \frac{1}{1+x^2} dx$, $v = \frac{1}{2}x^2$ となり、

$$\int_{0}^{1} x (\arctan x)^2 dx = \left[ \frac{1}{2} x^2 (\arctan x)^2 \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{2} x^2 \cdot 2 \arctan x \cdot \frac{1}{1+x^2} dx$$

$$= \frac{1}{2} (1)^2 (\arctan 1)^2 - \int_0^1 \frac{x^2 \arctan x}{1+x^2} dx$$

$\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$ であるから、

$$= \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} \right)^2 - \int_0^1 \frac{x^2 \arctan x}{1+x^2} dx = \frac{\pi^2}{32} - \int_0^1 \frac{x^2 \arctan x}{1+x^2} dx$$

次に積分 $\int_0^1 \frac{x^2 \arctan x}{1+x^2} dx$ を計算します。$\frac{x^2}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}$ であるから、

$$\int_0^1 \frac{x^2 \arctan x}{1+x^2} dx = \int_0^1 \left( 1 - \frac{1}{1+x^2} \right) \arctan x dx = \int_0^1 \arctan x dx - \int_0^1 \frac{\arctan x}{1+x^2} dx$$

$\int_0^1 \arctan x dx$ を部分積分で計算します。$u = \arctan x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x^2} dx$, $v = x$ となり、

$$\int_0^1 \arctan x dx = \left[ x \arctan x \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx = \left( 1 \cdot \arctan 1 - 0 \cdot \arctan 0 \right) - \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx$$

$$= \frac{\pi}{4} - \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx$$

$\int_0^1 \frac{\arctan x}{1+x^2} dx$ を計算します。$t = \arctan x$ とすると、$dt = \frac{1}{1+x^2} dx$ となり、

$$\int_0^1 \frac{\arctan x}{1+x^2} dx = \int_{\arctan 0}^{\arctan 1} t dt = \int_0^{\pi/4} t dt = \left[ \frac{1}{2} t^2 \right]_0^{\pi/4} = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} \right)^2 = \frac{\pi^2}{32}$$

したがって、

$$\int_0^1 \frac{x^2 \arctan x}{1+x^2} dx = \frac{\pi}{4} - \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx - \frac{\pi^2}{32}$$

$\int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx$ を計算します。$s = 1+x^2$ とすると、$ds = 2x dx$ となり、

$$\int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2} \int_1^2 \frac{1}{s} ds = \frac{1}{2} \left[ \ln s \right]_1^2 = \frac{1}{2} (\ln 2 - \ln 1) = \frac{1}{2} \ln 2$$

よって、

$$\int_0^1 \frac{x^2 \arctan x}{1+x^2} dx = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2 - \frac{\pi^2}{32}$$

元の式に代入すると、

$$\int_{0}^{1} x (\arctan x)^2 dx = \frac{\pi^2}{32} - \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2 - \frac{\pi^2}{32} \right) = \frac{\pi^2}{32} - \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \ln 2 + \frac{\pi^2}{32} = \frac{\pi^2}{16} - \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \ln 2$$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi^2}{16} - \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \log 2$