与えられた関数について、指定された区間における最大値と最小値を求め、それらを取る$x$の値を答える問題です。 (1) $f(x) = x^3 - 2x^2 - 4x - 1$, $(-3 \le x \le 3)$ (2) $f(x) = (\sin x - 1)\cos x$, $(-\pi \le x \le \pi)$ (3) $f(x) = x^2\sqrt{1 - x^2}$, $(-1 \le x \le 1)$

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

与えられた関数について、指定された区間における最大値と最小値を求め、それらを取る$x$の値を答える問題です。

(1) $f(x) = x^3 - 2x^2 - 4x - 1$, $(-3 \le x \le 3)$

(2) $f(x) = (\sin x - 1)\cos x$, $(-\pi \le x \le \pi)$

(3) $f(x) = x^2\sqrt{1 - x^2}$, $(-1 \le x \le 1)$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^3 - 2x^2 - 4x - 1$ について

まず、導関数を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 4x - 4$

$f'(x) = 0$ となる$x$を求めます。

$3x^2 - 4x - 4 = 0$

$(3x + 2)(x - 2) = 0$

$x = -\frac{2}{3}, 2$

次に、与えられた区間の端点と、$f'(x) = 0$となる$x$の値を$f(x)$に代入して比較します。

$f(-3) = -27 - 18 + 12 - 1 = -34$

$f(-\frac{2}{3}) = -\frac{8}{27} - \frac{8}{9} + \frac{8}{3} - 1 = \frac{-8 - 24 + 72 - 27}{27} = \frac{13}{27}$

$f(2) = 8 - 8 - 8 - 1 = -9$

$f(3) = 27 - 18 - 12 - 1 = -4$

(2) $f(x) = (\sin x - 1)\cos x$ について

$f(x) = \sin x \cos x - \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x - \cos x$

導関数を求めます。

$f'(x) = \cos 2x + \sin x = 1 - 2\sin^2 x + \sin x = -2\sin^2 x + \sin x + 1$

$f'(x) = 0$ となる$x$を求めます。

$-2\sin^2 x + \sin x + 1 = 0$

$2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$

$(2\sin x + 1)(\sin x - 1) = 0$

$\sin x = -\frac{1}{2}, 1$

$x = -\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}$

$f(-\pi) = (0 - 1)(-1) = 1$

$f(-\frac{5\pi}{6}) = (-\frac{1}{2} - 1)(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = (-\frac{3}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

$f(-\frac{\pi}{6}) = (-\frac{1}{2} - 1)(\frac{\sqrt{3}}{2}) = (-\frac{3}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3\sqrt{3}}{4}$

$f(\frac{\pi}{2}) = (1 - 1)(0) = 0$

$f(\pi) = (0 - 1)(-1) = 1$

(3) $f(x) = x^2\sqrt{1 - x^2}$ について

導関数を求めます。

$f'(x) = 2x\sqrt{1 - x^2} + x^2 \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} = 2x\sqrt{1 - x^2} - \frac{x^3}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{2x(1 - x^2) - x^3}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{2x - 3x^3}{\sqrt{1 - x^2}}$

$f'(x) = 0$ となる$x$を求めます。

$2x - 3x^3 = 0$

$x(2 - 3x^2) = 0$

$x = 0, \pm\sqrt{\frac{2}{3}}$

$f(-1) = 0$

$f(-\sqrt{\frac{2}{3}}) = \frac{2}{3}\sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9}$

$f(0) = 0$

$f(\sqrt{\frac{2}{3}}) = \frac{2}{3}\sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9}$

$f(1) = 0$

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $\frac{13}{27}$ ($x = -\frac{2}{3}$), 最小値: $-34$ ($x = -3$)

(2) 最大値: $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ ($x = -\frac{5\pi}{6}$), 最小値: $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$ ($x = -\frac{\pi}{6}$)

(3) 最大値: $\frac{2\sqrt{3}}{9}$ ($x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}}$), 最小値: $0$ ($x = -1, 0, 1$)