定積分 $\int_{1}^{\infty} \left(\frac{x-1}{x}\right)^2 dx$ を計算してください。

承知しました。それぞれの問題を解いていきます。

1. 問題の内容 (6)

定積分 $\int_{1}^{\infty} \left(\frac{x-1}{x}\right)^2 dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順 (6)

まず、被積分関数を整理します。

$\left(\frac{x-1}{x}\right)^2 = \left(1 - \frac{1}{x}\right)^2 = 1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}$

次に、積分を計算します。

$\int_{1}^{\infty} \left(1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}\right) dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \left(1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}\right) dx$

$\int \left(1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}\right) dx = x - 2\ln|x| - \frac{1}{x} + C$

$\lim_{t \to \infty} \left[x - 2\ln|x| - \frac{1}{x}\right]_{1}^{t} = \lim_{t \to \infty} \left[\left(t - 2\ln t - \frac{1}{t}\right) - \left(1 - 2\ln 1 - 1\right)\right]$

$= \lim_{t \to \infty} \left(t - 2\ln t - \frac{1}{t}\right)$

$= \lim_{t \to \infty} \left(t - 2\ln t \right) - \lim_{t \to \infty} \left(\frac{1}{t}\right)$

$= \lim_{t \to \infty} \left(t - 2\ln t \right) - 0$

$= \lim_{t \to \infty} t\left(1 - 2\frac{\ln t}{t} \right)$

ここで、$\lim_{t \to \infty} \frac{\ln t}{t} = 0$ なので、

$\lim_{t \to \infty} t\left(1 - 2\frac{\ln t}{t} \right) = \infty$

したがって、積分は発散します。

3. 最終的な答え (6)

発散

1. 問題の内容 (7)

定積分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{(x+1)(x+2)} dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順 (7)

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2}$

$1 = A(x+2) + B(x+1)$

$x = -1$ のとき, $1 = A(-1+2) \Rightarrow A = 1$

$x = -2$ のとき, $1 = B(-2+1) \Rightarrow B = -1$

よって、$\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}$

次に、積分を計算します。

$\int_{0}^{1} \left(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}\right) dx = \left[\ln|x+1| - \ln|x+2|\right]_{0}^{1} = \left[\ln\left|\frac{x+1}{x+2}\right|\right]_{0}^{1}$

$= \ln\left(\frac{1+1}{1+2}\right) - \ln\left(\frac{0+1}{0+2}\right) = \ln\left(\frac{2}{3}\right) - \ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln\left(\frac{2/3}{1/2}\right) = \ln\left(\frac{4}{3}\right)$

3. 最終的な答え (7)

$\ln\left(\frac{4}{3}\right)$

1. 問題の内容 (8)

広義積分 $\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x^2-1} dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順 (8)

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$

$1 = A(x+1) + B(x-1)$

$x = 1$ のとき, $1 = A(1+1) \Rightarrow A = \frac{1}{2}$

$x = -1$ のとき, $1 = B(-1-1) \Rightarrow B = -\frac{1}{2}$

よって、$\frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right)$

次に、積分を計算します。

$\int_{2}^{\infty} \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right) dx = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}\int_{2}^{t} \left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right) dx = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}\left[\ln|x-1| - \ln|x+1|\right]_{2}^{t}$

$= \lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}\left[\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|\right]_{2}^{t} = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}\left(\ln\left(\frac{t-1}{t+1}\right) - \ln\left(\frac{2-1}{2+1}\right)\right)$

$= \frac{1}{2}\left(\ln\left(\lim_{t \to \infty}\frac{t-1}{t+1}\right) - \ln\left(\frac{1}{3}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\ln(1) - \ln\left(\frac{1}{3}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(0 - (-\ln 3)\right) = \frac{1}{2}\ln 3$

3. 最終的な答え (8)

$\frac{1}{2}\ln 3$