関数 $y = \sin^2(3x + \frac{\pi}{5})$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin^2(3x + \frac{\pi}{5})$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

合成関数の微分法を用いる。まず、$y = u^2$ と $u = \sin(v)$ と $v = 3x + \frac{\pi}{5}$ と置く。

すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$

となる。

$\frac{dy}{du} = 2u = 2\sin(3x + \frac{\pi}{5})$

$\frac{du}{dv} = \cos(v) = \cos(3x + \frac{\pi}{5})$

$\frac{dv}{dx} = 3$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 2\sin(3x + \frac{\pi}{5}) \cdot \cos(3x + \frac{\pi}{5}) \cdot 3$

$= 6\sin(3x + \frac{\pi}{5})\cos(3x + \frac{\pi}{5})$

三角関数の2倍角の公式 $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ を用いると、

$= 3 \cdot 2 \sin(3x + \frac{\pi}{5})\cos(3x + \frac{\pi}{5})$

$= 3 \sin(2(3x + \frac{\pi}{5}))$

$= 3 \sin(6x + \frac{2\pi}{5})$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 3 \sin(6x + \frac{2\pi}{5})$