$\int \arctan(x) \, dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\int \arctan(x) \, dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

逆三角関数の積分なので、部分積分を使います。

$u = \arctan(x)$、$dv = dx$ とおくと、

$du = \frac{1}{1+x^2} \, dx$、$v = x$ となります。

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を適用すると、

$\int \arctan(x) \, dx = x \arctan(x) - \int x \cdot \frac{1}{1+x^2} \, dx$

右辺の積分 $\int \frac{x}{1+x^2} \, dx$ を計算します。

$t = 1+x^2$ とおくと、$dt = 2x \, dx$ より、$x \, dx = \frac{1}{2} \, dt$ となります。

$\int \frac{x}{1+x^2} \, dx = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{2} \, dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} \, dt = \frac{1}{2} \ln |t| + C = \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C$

したがって、

$\int \arctan(x) \, dx = x \arctan(x) - \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C$

3. 最終的な答え

$x \arctan(x) - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$