自然数 $n$ に対して、$y = \frac{1}{x}$ の第 $n$ 次導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、$y = \frac{1}{x}$ の第 $n$ 次導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = \frac{1}{x} = x^{-1}$ と書き換えます。

次に、導関数をいくつか計算して、規則性を見つけます。

1階導関数：$y' = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

2階導関数：$y'' = 2x^{-3} = \frac{2}{x^3}$

3階導関数：$y''' = -6x^{-4} = -\frac{6}{x^4}$

4階導関数：$y^{(4)} = 24x^{-5} = \frac{24}{x^5}$

一般的に、$y^{(n)} = (-1)^n n! x^{-(n+1)}$ と推測できます。

これを数学的帰納法で証明します。

(i) $n=1$ のとき、$y' = (-1)^1 1! x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$ となり、成立します。

(ii) $n=k$ のとき、$y^{(k)} = (-1)^k k! x^{-(k+1)}$ が成立すると仮定します。

(iii) $n=k+1$ のとき、

$y^{(k+1)} = \frac{d}{dx}y^{(k)} = \frac{d}{dx}((-1)^k k! x^{-(k+1)}) = (-1)^k k! (-(k+1)) x^{-(k+1)-1} = (-1)^{k+1} (k+1)! x^{-(k+2)}$

よって、$n=k+1$ のときも成立します。

したがって、数学的帰納法により、$y^{(n)} = (-1)^n n! x^{-(n+1)}$ がすべての自然数 $n$ に対して成立します。

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}$