$a > 0$ かつ $a \neq 1$ を満たす定数 $a$ に対して、$y = (x^2 + 1)a^x$ の導関数を求めます。解析学導関数指数関数対数微分法2025/7/81. 問題の内容a>0a > 0a>0 かつ a≠1a \neq 1a=1 を満たす定数 aaa に対して、y=(x2+1)axy = (x^2 + 1)a^xy=(x2+1)ax の導関数を求めます。2. 解き方の手順まず、y=(x2+1)axy = (x^2 + 1)a^xy=(x2+1)ax の両辺の自然対数をとります。lny=ln((x2+1)ax)\ln y = \ln((x^2 + 1)a^x)lny=ln((x2+1)ax)lny=ln(x2+1)+ln(ax)\ln y = \ln(x^2 + 1) + \ln(a^x)lny=ln(x2+1)+ln(ax)lny=ln(x2+1)+xlna\ln y = \ln(x^2 + 1) + x \ln alny=ln(x2+1)+xlna次に、両辺を xxx で微分します。1ydydx=2xx2+1+lna\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x^2 + 1} + \ln ay1dxdy=x2+12x+lnadydx=y(2xx2+1+lna)\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{2x}{x^2 + 1} + \ln a \right)dxdy=y(x2+12x+lna)y=(x2+1)axy = (x^2 + 1)a^xy=(x2+1)ax を代入して、dydx=(x2+1)ax(2xx2+1+lna)\frac{dy}{dx} = (x^2 + 1)a^x \left( \frac{2x}{x^2 + 1} + \ln a \right)dxdy=(x2+1)ax(x2+12x+lna)dydx=ax(2x+(x2+1)lna)\frac{dy}{dx} = a^x \left( 2x + (x^2 + 1)\ln a \right)dxdy=ax(2x+(x2+1)lna)3. 最終的な答えy′=ax(2x+(x2+1)lna)y' = a^x(2x + (x^2+1)\ln a)y′=ax(2x+(x2+1)lna)