$a > 0$ かつ $a \neq 1$ を満たす定数 $a$ に対して、$y = (x^2 + 1)a^x$ の導関数を求めます。

解析学導関数指数関数対数微分法
2025/7/8

1. 問題の内容

a>0a > 0 かつ a1a \neq 1 を満たす定数 aa に対して、y=(x2+1)axy = (x^2 + 1)a^x の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

まず、y=(x2+1)axy = (x^2 + 1)a^x の両辺の自然対数をとります。
lny=ln((x2+1)ax)\ln y = \ln((x^2 + 1)a^x)
lny=ln(x2+1)+ln(ax)\ln y = \ln(x^2 + 1) + \ln(a^x)
lny=ln(x2+1)+xlna\ln y = \ln(x^2 + 1) + x \ln a
次に、両辺を xx で微分します。
1ydydx=2xx2+1+lna\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x^2 + 1} + \ln a
dydx=y(2xx2+1+lna)\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{2x}{x^2 + 1} + \ln a \right)
y=(x2+1)axy = (x^2 + 1)a^x を代入して、
dydx=(x2+1)ax(2xx2+1+lna)\frac{dy}{dx} = (x^2 + 1)a^x \left( \frac{2x}{x^2 + 1} + \ln a \right)
dydx=ax(2x+(x2+1)lna)\frac{dy}{dx} = a^x \left( 2x + (x^2 + 1)\ln a \right)

3. 最終的な答え

y=ax(2x+(x2+1)lna)y' = a^x(2x + (x^2+1)\ln a)

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