$n$ を自然数とするとき、$y = e^{2x}$ の第 $n$ 次導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

$n$ を自然数とするとき、$y = e^{2x}$ の第 $n$ 次導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = e^{2x}$ の導関数をいくつか計算して、規則性を見つけます。

1階導関数:

$y' = \frac{d}{dx} e^{2x} = 2e^{2x}$

2階導関数:

$y'' = \frac{d}{dx} (2e^{2x}) = 2 \cdot 2e^{2x} = 2^2 e^{2x}$

3階導関数:

$y''' = \frac{d}{dx} (2^2 e^{2x}) = 2^2 \cdot 2e^{2x} = 2^3 e^{2x}$

このように、導関数を計算するたびに、$e^{2x}$ に 2 が掛けられることがわかります。

したがって、$n$ 階導関数は、$2^n e^{2x}$ と推測できます。

これを数学的帰納法で証明します。

(i) $n = 1$ のとき、

$y' = 2e^{2x} = 2^1 e^{2x}$ なので、成立します。

(ii) $n = k$ のとき、$y^{(k)} = 2^k e^{2x}$ が成立すると仮定します。

(iii) $n = k+1$ のとき、

$y^{(k+1)} = \frac{d}{dx} y^{(k)} = \frac{d}{dx} (2^k e^{2x}) = 2^k \cdot 2e^{2x} = 2^{k+1} e^{2x}$

したがって、$n = k+1$ のときも成立します。

よって、数学的帰納法により、$y = e^{2x}$ の第 $n$ 次導関数は $2^n e^{2x}$ であることが証明されました。

3. 最終的な答え

$2^n e^{2x}$