関数 $y = x (\log x)^2$ を微分してください。

1. 問題の内容

関数 $y = x (\log x)^2$ を微分してください。

2. 解き方の手順

与えられた関数は $y = x (\log x)^2$ です。積の微分法と合成関数の微分法を組み合わせて微分を行います。

積の微分法は、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の微分が $(uv)' = u'v + uv'$ で与えられるというものです。この問題では、$u(x) = x$ と $v(x) = (\log x)^2$ とおきます。

まず、$u(x)$ と $v(x)$ の微分をそれぞれ計算します。

$u'(x) = \frac{d}{dx}(x) = 1$

$v'(x) = \frac{d}{dx}((\log x)^2)$

$v'(x)$ を求めるには、合成関数の微分法を使います。$w(x) = \log x$ とおくと、$v(x) = (w(x))^2$ となります。したがって、

$\frac{d}{dx}((\log x)^2) = 2(\log x) \cdot \frac{d}{dx}(\log x) = 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \log x}{x}$

これで、$u'(x)$ と $v'(x)$ が計算できました。これらを用いて、積の微分法を適用します。

$\frac{dy}{dx} = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 1 \cdot (\log x)^2 + x \cdot \frac{2 \log x}{x} = (\log x)^2 + 2 \log x$

$\frac{dy}{dx} = (\log x)^2 + 2 \log x = \log x (\log x + 2)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = (\log x)^2 + 2 \log x$

または

$\frac{dy}{dx} = \log x (\log x + 2)$